Общие условия устойчивости линейной системы
Любую систему управления в любой момент времени можно описать с помощью диф. Уравнения
any(n)(t)+…+a1y’(t)+a0y(t)=bmx(m)(t)+…+b0x(t)
внеш. возд.
Для того, чтобы определить устойчивость, нужно определить поведение системы начиная с момента, когда все внешние воздействия снять, т.е. нужно оценить свободное движение системы.
any(n)(p)+…+a0(y)=0
Далее, преобразовав по Лапласу и убрав y(p), получим характеристические уравнения системы.
any(p)pn+an-1y’(p)*pn+…+a0y(p)=0
D(p): anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0=0
Каждому корню соответствует своя составляющая переход. процесса. В зависимости от величины и знака вещественной части корня, возможно 6 вариантов расположения корней на комплексной плоскости и следовательно, 6 вариантов переход. процессов.
Корни действит. и меньше 0
Pj=aj, αj<0
Im
X3 5ωJ X4
-aj
Re
1 0 6 aj 2
X3 5 ωJ X4
Этому корню соответствует такой вариант переходного процесса
Yj=cje-αjt
Y
Cj
T
2) Корни действ. И больше 0.
Pj=dj; dj>0
Yj=cj eαjt
Y
Cj
t
3) Корни комплексные и меньшее 0
Pj, j+1= αj ± I Wj, α<0
Y(t)=Cje-αjtsin(Wjt)
Y
Cj
T
4) Корни комплексные и больше 0
Pj , j +1= αj ± IWj , α>0
Y
(t)=Cjeαjtsin(Wjt)
Y
Cj t
5) Корни компл., α=0
Pj , j -1= ± iWj , α=0
Y(t)=Cjsin(Wjt)
Y
C j t
-Cj
6) Корни действит. и = 0
Pj = αj , αj=0
Y(t)= Cj
Y
C j
T
Условия устойчивости линейной системы
Для того, чтобы система была устойчивая, необх-о и достаточно, чтобы все корни её характеристического уравнения были “Левыми”. Если хотябы 1 корень “правый”, то система будет неустойчивая. Если 1 корень=0(Х6), а остальные – “левые”, то система находиться на границе устойчивости.
П
2
Iв
1
Y(p)(3p+1)=2*x(p)
D
P
С
2
истема устойчива
2.
W(p)=
D(p)=p2+p+1=0
D=1-4=-3
X1=
=
=
X2=
Система устойчива.
Критерий устойчивости.
-это правила, позволяющие судить об устойчивости системы без решения D(p). Они делятся на алгебраические и частотные.
1.Алгебраический критерий Гурвица.
Он применяется, когда известны диф. уравнения системы.
any(n)(t)+…+a1y’(t)+a0y(t)=0
Для использования этого критерия нумерацию коэффициентов проводят в обратном порядке.
a0y(n)(t)+…+an-1y’(t)+any(t)=0
Для получения коэф. Составляется матрицы следующего вида
Матрица составляется следующим образом:
Сначала в главной диагонали записываются все коэффициенты с a1 до an.
Затем заполняются столбцы таким образом, что над диагональю ставится коэффициенты с увеличивающимся N, а под главной диагональю – коэффициенты с уменьшающимся N.
Пустые клетки заполняются 0.
После этого считают так называемые определители Гурвица
Δ1=a1
Δ2=
Δ3=
Формулировка критерия. Система будет устойчивой, если все определители Гурвица >0.
Если хотя бы один определитель<0, то система неустойчивая.
Если один определитель=0, а все остальные>0, то система будет на границе устойчивости.
ПРИМЕР
a 0 a1 a2 a3 a4
3 y(4)+4 y’’’+4 y’’+2 y’+5 y=0
Δ1=a1=4>0
Δ
2=
=16-6=10>0
Δ3= =4*4*2+3*4*0+2*1*0-0*4*0-4*4*1-2*2*3=32-12=4>0
Δ4=
=4*(-1)1+1
+2*(-1)1+2*
=
=4*(4(-1)2*
+1(-1)3
+0)-2*(3*(-1)2*
)=4*(4(2-0)-1(4-0)-2(3(2-0))=
= 16-12=4>0
Ответ: система устойчива.
2. Критерий Михайлова.
Так же, как и критерий Гурвица, он используется, если известно диф. уравнение системы или её харак-ое уравнение.
D(p)=anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0=0
Заменим p=iw:
D(iw)=an(iw)n+an-1(iw)n-1+…+a1(iw)+a0=0
Делим уравнение на 2 части:
U
(w)=a0-a2w2+anw4+…
Д.ч
ϑ (w)=a1iw-a3iw3+a5iw5+…
Мни. ч
Подставляем в полученные уравнения вместо w какое-либо число и получим точку на комплексной плоскости, у которой будет д. и мн. Корд.
Iw
ϑ(w1)
u
U(w1)
Подставляем все значения от 0 до ∞и получим множество точек, соединив которые между собой получим кривую, называемую годограф - Михайловым.
ϑ(w)
2 1
U(w)
3 годограф