Принцип рекурсии в правилах грамматики

Особенность формальных грамматик в том, что они позволяют определить бесконечное множество цепочек языка с помощью конечного набора правил (конечно, множество цепочек языка тоже может быть конечным, но даже для простых реальных языков это условие обычно не выполняется). Приведенная выше в примере грамматика для целых десятичных чисел со знаком определяет бесконечное множество целых чисел с помощью 15 правил.

Возможность пользоваться конечным набором правил достигается в такой форме записи грамматики за счет рекурсивных правил. Рекурсия в правилах грамматики выражается в том, что один из нетерминальных символов определяется сам через себя. Рекурсия может быть непосредственной (явной) — тогда символ определяется сам через себя в одном правиле, либо косвенной (неявной) — тогда то же самое происходит через цепочку правил.

В рассмотренной выше грамматике G непосредственная рекурсия присутствует в правиле: <чс>-»<чс><цифра>, а в эквивалентной ей грамматике G' — в правиле: T->TF.

Чтобы рекурсия не была бесконечной, для участвующего в ней нетерминального символа грамматики должны существовать также и другие правила, которые определяют его, минуя самого себя, и позволяют избежать бесконечного рекурсивного определения (в противном случае этот символ в грамматике был бы просто не нужен). Такими правилами являются <чс>-><цифра> — в грамматике G и T->F — в грамматике G'.

В теории формальных языков более ничего сказать о рекурсии нельзя. Но, чтобы полнее понять смысл рекурсии, можно прибегнуть к семантике языка — в рассмотренном выше примере это язык целых десятичных чисел со знаком. Рассмотрим его смысл.

Если попытаться дать определение тому, что же является числом, то начать можно с того, что любая цифра сама по себе есть число. Далее можно заметить, что любые две цифры — это тоже число, затем — три цифры и т. д. Если строить определение числа таким методом, то оно никогда не будет закончено (в математике разрядность числа ничем не ограничена). Однако можно заметить, что каждый раз, порождая новое число, мы просто дописываем цифру справа (поскольку привыкли писать слева направо) к уже написанному ряду цифр. А этот ряд цифр, начиная от одной цифры, тоже в свою очередь является числом. Тогда определение для понятия «число» можно построить таким образом: «число — это любая цифра, либо другое число, к которому справа дописана любая цифра». Именно это и составляет основу правил грамматик G и G' и отражено во второй строке правил в правилах <чс>-> <цифра> | <чс> <цифра> и T->F|TF. Другие правила в этих грамматиках позволяют добавить к числу знак (первая строка правил) и дают определение понятию «цифра» (третья строка правил). Они элементарны и не требуют пояснений.

Принцип рекурсии (иногда его называют «принцип итерации», что не меняет сути) — важное понятие в представлении о формальных грамматиках. Так или иначе, явно или неявно рекурсия всегда присутствует в грамматиках любых реальных языков программирования. Именно она позволяет строить бесконечное множество цепочек языка, и говорить об их порождении невозможно без понимания принципа рекурсии. Как правило, в грамматике реального языка программирования содержится не одно, а целое множество правил, построенных с помощью рекурсии.