34. Принципиальное отличие сплайновой интерполяции от полиномиальной
Полиномиальная интерполяция имеет большую погрешность из за явление волнистости", из-за которого аппроксимирующая функция, несмотря на выполнение условий Лагранжа в узлах, может давать значительные отклонения от аппроксимируемой кривой между узлами.
В
отличие от полиномиальной
интерполяции,
когда вся аппроксимируемая зависимость
описывается одним полиномом, при
сплайновой интерполяции на каждом
интервале [ х; i, х ] строится отдельный
полином третьей степени со своими
коэффициентами имеет такой вид
35. Принцип построения аппроксимирующей функции при использовании метода наименьших квадратов.
В методе наименьших квадратов требуется проводить аппроксимирующую кривую, которая не обязательно проходит через узловые точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость и сглаживает возможные выбросы, возникшие из-за погрешности эксперимента.
Рис.5.5. |
Рис.5.6. |
Как
и в описанных выше методах аппроксимации
считаем известными значения
экспериментальных данных в узлах f(x
i)
= f
i
и через 
(x)
обозначим непрерывную аппроксимирующую
функцию. В узлах значения функций f(x)
и 
(x)
будут отличаться на величину 
i
= f (x
i)
-
(x
i).
Отклонения
i
могут принимать как положительные, так
и отрицательные значения. Чтобы не
учитывать знаки, возведем каждое
отклонение в квадрат, а для оценки
близости функций f(x)
и
(x)
возьмем сумму этих квадратов
-
Q =
=
.(5.11)
Метод построения аппроксимирующей функции (x) из условия минимума величины Q называется методом наименьших квадратов ( далее - МНК).
Наиболее
распространен способ выбора функции 
(x)
в виде линейной комбинации
-
(x)
= с0
0(x)
+ с1
1(x)
+ … +
сm
m(x),(5.12)
где
0(x),
1(x),
…,
m(x)
- базисные функции;
;
с0, с1, …, сm - коэффициенты, определяемые при минимизации величины Q.
Математически минимум величины Q достигается при равенстве нулю частных производных от Q по всем коэффициентам с0, с1, …, сm:
-
(5.13)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных с0, с1, …, сm называется системой нормальных уравнений, а матрица ее коэффициентов имеет следующий вид:
-
(5.14)