42) Общая характеристика методов прогноза и коррекции решения задачи Коши для оду.

По сравнению с одношаговыми методами методы прогноза и коррекции имеют ряд особенностей:

1. Для реализации методов прогноза и коррекции необходимо иметь информацию о нескольких предыдущих точках: другими словами, они не относятся к числу "само­стар­ту­ю­щих" методов. Для получения исходной информации приходится прибегать к какому-либо одношаговому методу. Если в процессе решения дифференциальных уравнений методом прогноза и коррекции изменяется шаг, то обычно приходиться временно переходить на одношаговый метод.

2. Поскольку для методов прогноза и коррекции требуются данные о предыдущих точках, то соответственно предъявляются и повышенные требования к объему памяти ЭВМ.

3. Одношаговые методы и методы прогноза и коррекции обеспечивают примерно одинаковую точность результатов. Однако вторые в отличие от первых позволяют легко оценить погрешость на шаге. По этой причине, пользуясь одношаговыми методами, величину шага h обычно выбирают несколько меньше, чем это, строго говоря, необходимо, и поэтому методы прогноза и коррекции оказываются более эффективными.

4. При применении метода Рунге-Кутта четвертого порядка на каждом шаге приходиться вычислять четыре значения функции, в то время как для обеспечения сходимости метода прогноза и коррекции того же порядка точности часто достаточно двух значений функции. Поэтому методы прогноза и коррекции требуют почти вдвое меньше машинного времени, чем методы Рунге-Кутта сравнимой точности. Это обстоятельство может оказывать сильное влияние на выбор алгоритма, так как стоимость машинного времени может быть весьма высокой.

43) Понятие и сущность одношаговых методов решения задачи Коши для оду.

Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке x₀ + h используется информация о решении только в точке x₀.

Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши - метод Эйлера. В методе Эйлера величины y_i   вычисляются по формуле  y_i+1 = y_i + h f(x_i , y_i),   i = 0, 1, ...

Методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности называют одношаговый метод, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутты. В этом методе величины y_i+1 вычисляются по следующим формулам:  y_i+1 = y_i + h (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)/6 ,   i = 0, 1, ... k₁ = f(x_i , y_i),  k₂ = f(x_i+h/2, y_i+hk₁/2), k₃ = f(x_i+h/2, y_i+hk₂/2),  k₄ = f(x_i+h, y_i+hk₃). 44) Различие между методами Рунге-Кутта и Кутта-Мерсона решения задачи Коши для ОДУ.

метод Рунге-Кутта в сущности объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Наиболее распространенным из них является метод, при котором удерживаются все члены, включая h⁴. Это метод четвертого порядка точности, для которого ошибка на шаге имеет порядок h⁵. Расчеты при использовании этого классического метода производятся по формуле

,

(7.13)

где	K0 = h f(xm, ym),
	K1 = h f(xm+0.5h, ym+0.5K0),
	K2 = h f(xm+0.5h, ym+0.5K1),
	K3 = h f(xm+h, ym+K2).

Мерсон предложил модификацию метода Рунге-Кутта четвертого порядка, позволяющую оценивать погрешность на каждом шаге и принимать решение об изменении величины шага. Схема Мерсона выглядит следующим образом:

(7.14)

где	K1 = h3 f(xm, ym),  h3=h/3,
	K2 = h3 f(xm+h3, ym+K1),
	K3 = h f(xm+h3, ym+(K1+K2)/2),
	K4 = K1+ h3 f(xm+h/2, ym+0,375(K1+K3)),
	K5 = h3 f(xm+h, ym+1,5(K4 - K3)).

Эта схема требует на каждом шаге вычислять правую часть дифференциального уравнения в пяти точках, но она позволяет на каждом шаге определять погрешность решения R по формуле

R = 0,1(2K4 - 3K3 - K5).

(7.15)