Формы распределения. Коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Любое реальное распределение можно изобразить схематически в виде кривой, воспроизводящей основные особенности данного распределения. Под кривой распределения понимается графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот, функционально связанных с изменением вариант. 

Элементами распределения являются:

• варианта

• частота

В зависимости от вида кривых, изображающих распределение, выделяют несколько основных типов распределения:

• одновершинные

• многовершинные

К одновершинным относятся те, в которых один, обычно центральный вариант, имеет наибольшую частоту (плотность распределения). Частоты же остальных вариантов убывают по мере удаления от центрального. 

Если частоты убывают слева и справа от центрального значения одинаково, то такие распределения называются симметричными. 

Если частоты убывают слева и справа от центра распределения с разной скоростью, то такие распределения называют асимметричными. 

Многовершинные распределения — это распределения, в которых несколько центров, т. е. такие, у которых несколько максимумов  частот.

Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения.

Многовершинность распределения свидетельствует о неоднородности изучаемого явления. В этом случае необходимо произвести перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения предполагает, наряду с оценкой его однородности, вычисление показателей асимметрии и эксцесса.

Кривые распределения бывают:

1. симметричными

2. асимметричными.

В зависимости от того, какая ветвь кривой распределения вытянута, различают:

1. правостороннюю асимметрию

2. левостороннюю асимметрию.

Для характеристики степени асимметрии двух или нескольких рядов пользуютсякоэффициентом асимметрии.

Для одновершинных распределений:

  

Более точным является коэффициент асимметрии, рассчитанный как отношение центрального момента третьего порядка (μ³) к среднеквадратическому отклонению в 3-й степени (Ϭ³):

  

1. Для симметричного распределения: 

  

Соответственно, в симметричном распределении центральный момент 3-го порядка равен нулю (μ³=0), т. е. алгебраическая сумма отклонений отдельных значений признака (вариант), расположенных слева и справа от средней, равна нулю. График симметричного распределения симметричен относительно точки максимума.

Для несимметричных распределений центральные моменты нечетного порядка отличны от нуля:

2. Асимметрия положительна (A_s>0), если длинная часть кривой распределения расположена справа от моды (М_о). В этом случае соотношение между средней, медианой и модой нарушено:

  

 3. Асимметрия отрицательна (A_s<0), если длинная часть кривой распределения расположена слева от моды (М_о).

  

 A_s< 0.25 – слабая асимметрия

A_s= 0.25-0.5 – умеренная асимметрия

A_s> 0.5 – крайне асимметричное распределение

Для оценки «крутизны» (островершинности) распределения пользуются характеристикой – эксцессом.

Коэффициент эксцесса:

  

1. Для нормального распределения:

  

2. Выше нормального (островершинное распределение):

  

3. Ниже нормального (плосковершинное распределение):