Односторонние пределы

Определение

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Левый и правый пределы функции

Определение

Число   называется правым пределом функции   в точке  , если для    такое, что для любого   и  , выполняется неравенство  (рис. 1). Правый предел обозначается 

Число   называется левым пределом функции   в точке  , если для    такое, что для любого   и  , выполняется неравенство  (рис. 2). Левый предел обозначается 

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.

Теорема

Если существуют   и  , причем  , то существует и . Обратное утверждение также верно.

В случае, если  , то предел   не существует.

Пример

Задание. Найти односторонние пределы функции   при 

Решение. Правый предел: 

Левый предел: 

Односторонние границы

Запись  можно понимать как приближение к точке   слева, когда   и дело, когда  . аким образом, приближение точек   до   может быть двусторонним. На основе этого введены определения правой и левой границы.

Число   есть пределом функции   слева (левой границей), если для любого числа   существует   такое, что при  выполняется неравенство

Число   является пределом функции   справа (правой границей) если для сколь угодно малого значения   найдется   такое что для всех   из промежутка   выполняется неравенство

Левая и правая границы называются односторонними границами.

Функция   имеет предел в точке  тогда и только тогда, когда существуют одновременно границы справа и слева и они равны между собой

Рассмотрим примеры из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. "Высшая математика" на нахождение границ.

-----------------------------------

Пример 1. Найти пределы.

1) (4. 331)

2) (4. 333)

3) (4. 337)

4) (4. 342)

5) (4. 348)

6) (4. 357)

Решение.

1) Первые примеры не являются сложными и их решения сводится к подстановки значения аргумента в функцию

2) Как и в предыдущем примере проводим подстановку

3) Выполняем подстановку переменной в предел

4) В такого типа примерах нужно знаменатель разложить по правилу разности квадратов, после этого выполнить подстановку

5) В таких примерах нужно числитель и знаменатель сократить на множитель, который вносит наибольший вклад

6) В подобных примерах ищут наибольший показатель переменной в числителе и знаменателе, а потом проводят анализ. При следовании   корни ведут себя следующим образом

С оценки показателей видим что числитель быстрее растет чем знаменатель

следовательно функция бесконечно большая и ее предел бесконечный

На этом вводной урок нахождения пределов функций завершен. Другие примеры вычисления пределов и методику их нахождения Вы найдете в следующих материалах.

Бесконечно малая и бесконечно большая

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака

Бесконечно малая[править | править вики-текст]

Последовательность   называется бесконечно малой, если  . Например, последовательность чисел   — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если   либо  .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если  , то  ,  .