Точки разрыва функции и их классификация Определение точки разрыва
Определение
Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:
функция определена в точке и ее окрестности;
существует конечный предел функции в точке ;
это предел равен значению функции в точке , т.е.
называется точкой разрыва функции.
Пример
Функция 
не
определена в точке 
,
а значит, эта точка является точкой
разрыва указанной функции.
Точка разрыва первого рода
Определение
Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.
Пример
Функция 
в
точке 
имеет
разрыв первого рода, так как
,
а 
Точка разрыва второго рода
Определение
Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.
Пример
Для
функции 
точка 
-
точка разрыва второго рода, так как 
.
Точка устранимого разрыва
Определение
Если
существуют левый
и правый пределы функции в
точке и они равны друг другу, но не
совпадают со значением функции
в
точке
: 
или
функция
не
определена в точке
,
то точка
называется точкой
устранимого разрыва.
Пример
Рассмотрим
функцию 
.
Найдем односторонние
пределы и
значение функции в точке
:
Так
как 
и
не равны значению функции в точке, то
точка
-
точка устранимого разрыва.
Примеры решения задач
Ads by OffersWizardAd Options
Пример
Задание. Исследовать
функцию 
на
непрерывность.
Решение. Рассматриваемая
функция определена и непрерывна
на промежутках 
, 
и
,
на которых она задана непрерывными
элементарными функциями 
,
и 
соответственно.
А тогда, разрыв возможен только на концах
указанных промежутков, то есть в
точках
и 
.
Найдем односторонние пределы и значение функции в каждой из точек.
1) Рассмотрим точку . Для нее
Так
как 
,
то в точке
функция
терпит разрыв
первого рода.
2) Для точки имеем:
Так как односторонние пределы и значение функции в этой точке равны, то это означает, что в точке функция непрерывна.
Ответ. В точке функция терпит разрыв первого рода, а в точке непрерывна.
Пример
Задание. Исследовать
функцию 
на
непрерывность в точках 
и 
.
Решение. 1) Исследуем функцию на непрерывность в точке :
Так как один из односторонних пределов бесконечен, то точка - точка разрыва второго рода.
2) Для точки получаем:
и значение функции в точке
Таким образом, в точке заданная функция является непрерывной.
Ответ. - точка разрыва второго рода, а в точке функция непрерывна.
