3) Находим матрицу алгебраических дополнений

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений  .

5) Ответ.

Вспоминаем нашу формулу 

Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. det A ≠ 0 .

13.

Свойства фундаментальной системы решений[править | править вики-текст]

а) Всякая ФСР линейно независима

б) Если две системы уравнений имеют одну и ту же ФСР, то эти системы уравнений эквивалентны

в) Любая фундаментальная система решений однородной СЛУ (*0) состоит из n - r линейно независимых решений. (n-число неизвестных, r -ранг матрицы A)

г) Всякая линейно независимая система, состоящая из n - r решений ОСЛУ (*0), является ее фундаментальной системой решений

д) Если всякое решение ОСЛУ (*) является линейной комбинацией системы (g), состоящей из n - r векторов, то (g) - ФСР(*)

Определенная однородная система линейных уравнений не имеет ФСР

Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю.

14.

Определение: ненулевой вектор  , который при умножении на некоторую квадратную матрицу   превращается в самого же себя с числовым коэффициентом  , называетсясобственным вектором матрицы  . Число   называют собственным значением илисобственным числом данной матрицы.

Собственными числами матрицы   являются корни уравнения

и только они.

        Доказательство.     Пусть столбец    -- собственный вектор матрицы   с собственным числом   . Тогда, по определению,   . Это равенство можно переписать в виде   . Так как для единичной матрицы   выполнено   , то   . По свойству матричного умножения   и предыдущее равенство принимает вид

(19.4)

Допустим, что определитель матрицы   отличен от нуля,   . Тогда у этой матрицы существует обратная   . Из равенства (19.4) получим, что   , что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что   , неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения   .

Пусть    -- корень уравнения   . Тогда базисный минор матрицы   не может совпадать с определителем матрицы и поэтому   ,    -- порядок матрицы   . Уравнение (19.4) является матричной записью однородной системы линейных уравнений с неизвестными   , являющимися элементами матрицы-столбца   . По  теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе решений равно   , что больше нуля. Таким образом, система (19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу   соответствует хотя бы один собственный вектор матрицы   .      

Определитель   является многочленом степени   от переменного   , так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится.

        Определение 19.5   Матрица   называется характеристической матрицей матрицы   , многочлен   называется характеристическим многочленом матрицы   , уравнение   называется характеристическим уравнением матрицы   .  

Аналитическая геометрия

16. Скалярами (скалярными величинами) называются величины, характеризуемые

только численным значением; векторами (векторными величинами) – величины, ха-

рактеризуемые не только численным значением, но и направлением в пространстве.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

|a| = √ax2 + ay2 + az2

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости.

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым. Чаще всего нулевой вектор обозначается как .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).

1. Суммой двух векторов u и v называется третий вектор w, проведенный из начала u к концу v, если начало вектора v совпадает с концом вектора u. Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма. 

2. Суммой нескольких векторов u₁, u₂, u₃, ... называется вектор w, получающийся в результате последовательного сложения данных векторов. Такая операция выполняется по правилу многоугольника. 

3. Коммутативный закон сложения

4. Ассоциативный закон сложения

5. Сумма векторов в координатах  При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.

6. Разностью двух векторов u и v называется вектор w при условии: 

7. Разность векторов u и v равна сумме вектора u и противоположного вектора (− v):

8. Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору:

9. Длина нулевого вектора равна нулю:

10. Разность векторов в координатах  При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.

Свойства:

   

 

 

 

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Свойства: Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно

a · a ≥ 0

Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

a · a = 0 <=> a = 0

Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

a · a = |a|2

Операция скалярного умножения коммуникативна:

a · b = b · a

Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b

(αa) · b = α(a · b)

Операция скалярного умножения дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

Два ненулевых n-мерных вектора   и   называются ортогональными, или перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

,

 - условие ортогональности.

17. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис. 1).

рис. 1