Задача д2

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m₁ = 30 кг и груза D массой т₂ = 10 кг; плита или движется вдоль горизонтальных направляющих (рис. Д2.0–Д2.4), или вращается вокруг вертикальной оси z, лежащей в плоскости плиты (рис. Д2.5–Д2.9).

В момент времени t₀ = 0 груз начинает двигаться под действием внутренних сил по имеющемуся на плите желобу; закон его движения s = AD= F(t) задан в табл. Д2, где s -выражено в метрах, t - в секундах. Форма желоба на рис. Д2.0, Д2.1, Д2.8, Д2.9 – прямолинейная (желоб КЕ), на рис. Д2.2-Д2.7 – окружность радиуса R = 0,8 м с центром в центре масс С₁, плиты ( на рис. Д2.2-Д2.7 отсчитывается по дуге окружности).

Плита (рис. Д2.0-Д2.4) имеет в момент t₀ = 0 скорость и₀ = 0.

Плита (рис. Д2.5-Д2.9) имеет в момент времени t₀ = 0 угловую скорость ω₀ = 8 c^–1, и в этот момент на нее начинает действовать вращающий момент М (момент относительно оси z), заданный в таблице в ньютонометрах и направленный как ω₀ при М > 0 и в противоположную сторону при М < 0. Ось z проходит от центра С, плиты на расстоянии b; размеры плиты показаны на рисунках.

Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить указанное в таблице в столбцах 4 и 9, где обозначено: в столбце 4 (относится к рис. Д2.0–Д2.4) х₁ – перемещение плиты за время от t₀ = 0 до t₁ = 1 с, и₁ – скорость плиты в момент времени t₁ = 1 с. N₁ – полная сила нормального давления плиты на направляющие в момент времени t₁ = 1 с (указать, куда сила направлена); в столбце 9 (относится к рис. 5-9) ω₁– угловая скорость плиты в момент времени t₁ = 1 с, ω = f(t) – угловая скорость плиты как функция времени.

На всех рисунках груз показан в положении, при котором s = AD > 0; при s < 0 груз находится по другую сторону от точки А.

Таблица Д2

номер условия	Рис. 0 и 1	Рис. 2–4	Рис. 0–4	Рис. 5–7	Рис. 8 и 9	Рис. 5–9
	s = F (t)		Най­ти		s = F (t)	b	M	Найти
0	0,6 sin (π/3 t2)	πR/3 (t2 – 3)	x1	πR/2 (1 – 2t)	0,4 sin (πt)	R/2	8	ω = f (t)
1	0,4 (1 – 3t2)	πR/3 (3 – 2t2)	u1	πR/6 (1 + 2t2)	0,2 (2 – 3t)	4R/3	0	ω1
2	0,4 sin (π t2)	πR/2 t2	N1	πR/2 t2	– 0,8t	R	12t2	ω = f (t)
3	0,8 cos (π/4 t2)	πR/6 t2	u1	πR/3 (4t2 – 1)	0,2 (2 – 5t)	4R/3	0	ω1
4	0,3 (1 – 3t2)	πR/6 (2t2 – 3)	x1	πR/6 (5 – 7t)	0,4 (3t – 1)	R/2	0	ω1
5	0,8 sin (π/2 t2)	πR/2 (t2 – 1)	N1	πR/3 (2t2 – 3)	0,6 cos (πt)	R	– 12	ω = f (t)
6	0,6t2	πR/3 t2	u1	πR/6 (3 – 4t2)	0,8 (1 – t2)	R/2	0	ω1
7	0,4 (2t2 – 1)	πR/6 (3 – 5t2)	x1	πR/3 (3t – t2)	0,8 (5t2 – 2)	4R/3	0	ω1
8	0,6 cos (π/2 t2)	πRt2	N1	πR/6 (2t – 3)	– 0,4t2	R/2	–8t	ω = f (t)
9	1,2 cos (π/6 t2)	πR/4 t2	x1	πR/3 (3 – 5t2)	0,6 (t – 2t2)	4R/3	0	ω1

Указания. Задача Д2 – на применение теорем о движении центра масс и об изменении количества движения и кинетического момента системы. Теоремой о движении центра масс целесообразно воспользоваться в задаче, где нужно определить поступательное перемещение одного из тел системы (или реакцию связи), а теоремой об изменении количества движения – когда нужно определить скорость такого тела. Теорема об изменении кинетического момента применяется в задачах, где нужно найти угловую скорость или закон вращения одного из тел системы.

При решении задачи учесть, что абсолютная скорость груза слагается из относительной и переносной скоростей (определяются так же, как при решении задачи К3), т.е. Тогда количество движения груза , а момент относительно оси z по теореме Вариньона (статика) будет ; эти моменты вычисляются так же, как моменты силы.

Конкретнее ход решения разъяснен в примерах Д2.

Момент инерции плиты относительно оси C₁z', направленной так же, как ось z на рис. Д2.5-Д2.9, но проходящей через центр масс С₁ плиты, равняется m₁l²/12, где l – ширина плиты (в задаче l = 3R или l = 4R). Для определения момента инерции I_z относительно оси z воспользоваться теоремой Гюйгенса о моментах инерции относительно параллельных осей. Ось z при изображении чертежа провести на том расстоянии b от центра С₁, которое указано в таблице.

Пример Д2. К вертикальной плите 1 массой m₁ с помощью невесомого стержня BD длиной l прикреплен груз D массой m₂ (рис. Д2а). В момент времени t₀ = 0 стержень начинает вращаться вокруг точки В так, что расстояние изменяется по закону s = F(t), где s – в метрах, t – в секундах.

Плита движется по горизонтальным направляющим и при t₀ = 0 ее скорость u = u₀.

Дано: m₁ = 12 кг, m₂ = 6 кг, l = 0,8 м, t₁ = 2 с,

1. Определение перемещения x₁ плиты за время от t₀ = 0 до t = t₁.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза. Изобразим действующие на нее внешние силы: силы тяжести и суммарную реакцию направляющих. Проведем координатные оси ху так, чтобы ось у прошла через начальное положение центра масс плиты. Для определения x₁ воспользуемся теоремой о движении центра масс С системы и составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось х, обозначая массу системы через m₁:

Интегрируя это уравнение, получим

где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования.

Из формулы, определяющей абсциссу х_С центра масс, следует, что для рассматриваемой системы тх_С = т₁х + m₂x_D, где х – абсцисса центра масс плиты, определяющая одновременно ее положение, x_D – абсцисса груза D. Из рис. Д3а видно, что x_D = x – l sinφ, где

В результате, найдя значение mx_C и подставив его в (2), получим

Для определения постоянных С₁ и С₂, понадобится еще одно уравнение, которое получим, продифференцировав обе части равенства (4) повремени; это даст:

где – скорость плиты. По начальным условиям при t = 0 х = 0, Подставив эти величины в равенства (5) и (4), получим С₁ = 0, С₂ = – т₂l. При найденных значениях С₁ и С₂ из равенства (4) окончательно получим

Этот результат дает зависимость х от t. Полагая здесь t = t₁ = 1 с, найдем искомое перемеще­ние x₁.

Ответ: x₁ = – 0,4 м (плита переместится влево).

2. Определение скорости u₁. При тех же условиях (1) найдем скорость u₁ плиты в момент времени t₁ = 2 с.

Решение. Рассматриваем опять механическую систему, состоящую из плиты и груза, и изображаем действующие на нее внешние силы и реакцию ; проводим оси ху (рис. Д2б).

Для определения u₁ воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы, учитывая, что для рассматриваемой системы где – количества движения плиты и груза соответственно. Составляя уравнение в проекции на ось х, получим

так как

Отсюда следует, что

(6)

Для определения v_Dx рассмотрим движение груза как сложное, считая его движение по отношению к плите относительным, а движение самой плиты – переносным движением. Тогда , где численно v_пер = u и v_отн = . Покажем вектор на рис. Д2б, направив его перпендикулярно BD в сторону положительного отсчета s или φ, и определим проекцию вектора на ось x; получим v_Dx = u_x – v_отн cos φ, где

В данной задаче v_Dx можно еще найти, определив абсциссу точки D, те. x_D = х – l sin φ (рис. Д2а); тогда а значение cos φ дает равенство (7).

При найденном значении v_Dx равенство (6), если учесть, что u_x = u, а v_отн = ^ds/_dt = – ^πl/₃^t, примет вид:

По начальным условиям при t = 0 и = 0, что дает С₁ = 0, и окончательно из (8) находим

Этот результат определяет зависимость и от t. Полагая здесь t = t₁ = 2 с, найдем искомую скорость u₁.

Ответ: u₁ = –0,48 м/с (скорость направлена влево).

3. Определение реакции N₁. При тех же условиях (1) найдем реакцию N₁ направляющих в момент времени t₁ = 2 с.

Решение. Опять рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза D, и изобразим действующие на нее внешние силы и реакцию (рис. Д2а). Для определения N₁ воспользуемся теоремой о движении центра масс системы и составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось y:

где m – масса системы; P₁ = m₁g; Р₂ = m₂g. Из формулы, определяющей ординату у_C центра масс системы, следует, что для рассматриваемой системы ту_C = т₁у_C1 + m₂y_D, где, как видно из рис. Д2а, у_С1 = h, y_D = 2h – l cos φ. Тогда, используя равенство (7), получим

Вычисляя производные и учитывая, что h = const. получим

Подставив это значение в равенство (9), найдем зависимость N от t и из нее,

полагая t = t₁ = 2 с, определим искомую величину N₁.

Ответ: N₁ = 197,3 H.

4. Определение угловой скорости ω. Плита вращается вокруг оси z, лежащей в плоскости плиты (рис. Д2в), и в момент времени t₀ = 0, когда угловая скорость плиты равна ω₀, на нее начинает действовать вращающий момент М.

Дано: дополнительно к условиям (1): ω₀ = 5 с ^–1, М = kt, где k = 10 Н · м/с.

Определить: ω = f (t) – зависимость угловой скорости плиты от времени.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза D, и изобразим действующие на нее внешние силы: силы тяжести реакции подпятника и подшипника и вращающий момент М.

Для определения ω применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z.

Предварительно заметим, что так как силы , параллельны оси z, а реакции эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда и теорема дает

Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, получим

Для рассматриваемой механической системы

где K_z^пл и K_z^D – кинетические моменты относительно оси z плиты и груза D соответственно. Поскольку плита вращается вокруг оси z, то

Для определения K_z^D рассмотрим движение груза как сложное, считая его движение по отношению к плите относительным, а вращение плиты вокруг оси z – переносным движением.

Тогда и, по теореме Вариньона,

Но вектор лежит в одной плоскости с осью z и, следовательно, Вектор направлен перпендикулярно плите (как ось х, если ось y в плоскости плиты); по модулю v_пер = ω·DD₁.

Тогда Но из рис. Д2в видно, что DD₁ = l + l sin φ. Взяв значение sin φ из формулы (3) и подставив все найденные величины в равенство (14), получим

Зная K_z^пл и K_z^D [формулы (13) и (15)], найдем из равенства (12) значение K_z; тогда уравнение (11) примет вид

или при числовых значениях задачи

Постоянную интегрирования определим по начальным условиям: при t = 0 ω = ω₀ = 5 с^{– 1}; по­лучим С₁ = 128. При этом значении С₁ из уравнения (16) находим искомую зависимость ω от t.

Примечание. Из полученного результата можно найти и значение ω₁ при t = t₁. Но если по условиям задачи одновременно М = 0, то уравнение (10) дает K_z = const, и тогда обычно проще не искать зависимость ω от t в общем виде, а сначала определить положение груза D при t = 0 (т.е. угол φ₀) и вычислить значение K_{z 0} при φ = φ₀ и ω = ω₀ с помощью равенств, аналогичных (11) – (15); затем определить положение груза при t = t₁ (угол φ₁) и тем же путем найти K_{z 1} при φ = φ₁ и ω = ω₁.

Так, в рассмотренном примере при t = 0 будет φ₀ = ^π/₂ и DD₁ = 2l (рис Д2в), а при t = t₁ = 2 с будет φ₁ = – ^π/₆ и DD₁ = ^l/₂. Тогда

_{Значение} ω₁, находится из равенства K_{z 1 =} K_{z 0.}