19. Теорема о взаимности работ (теорема Бетти)

Возможная работа сил состояния i на перемещениях, вызванных силами состояния k, равна возможной работе сил состояния k на перемещениях, вызванных силами состояния i (A_ij = A_ji).

***

Теорема Бетти. Возможная работа сил i-го состояния на перемещениях j-го состояния равна возможной работе сил j-го состояния на перемещениях i-го состояния.

Доказательство. Пусть на систему воздействуют силы P_i и P_j. Приложим их в разной последовательности и рассмотрим два состояния системы:

1) прикладывается сила P_i, затем сила P_j (рис. 6.5 а);

2) прикладывается сила P_j, затем сила P_i (рис. 6.5 б).

Рис. 6.5

В этих состояниях силы на действительных перемещениях совершают действительные, а на возможных перемещениях – возможные работы. Выражения работ в обоих состояниях будут:

W_ij= P_i_ii+ P_j_jj+P_i_ij; W_ji= P_j_jj+ P_i_ii+P_j_ji.

На основании принципа суперпозиции результат воздействия этих сил не зависит от порядка их приложения. Следовательно, обе работы равны: W_ij=W_ji. Отсюда получаем

P_i_ij=P_j_ji .

Теорема доказана. Ее часто называют теоремой о взаимности работ.

Теперь определим возможную работу внутренних сил. Для этого рассмотрим два состояния системы:

1) действует сила P_i и вызывает внутренние усилия M_i, Q_i, N_i;

2) действует сила P_j, которая в пределах малого элемента dx вызывает возможные деформации

_Mj= dx, _Qj= dx, _Nj= dx.

Внутренние усилия первого состояния на деформациях (возможных перемещениях) второго состояния совершат возможную работу

–dV_ij=M_i_Mj+Q_i_Qj+N_i_Nj= dx+ dx+ dx .

Если проинтегрировать это выражение по длине элемента l и учесть наличие в системе n стержней, получим формулу возможной работы внутренних сил:

–V_ij= dx .

2 0. Теоремы: о взаимности перемещений, о взаимности реакций.

Теорема о взаимности перемещений .

Пусть  и  . Теорема о взаимности перемещений с учетом принятого обозначения перемещения от единичной силы имеет вид:  .Теорема о взаимности перемещений была доказана Максвеллом. Формулировка теоремы о взаимности перемещений: перемещение точки приложения первой единичной силы, вызванное действием второй силы, равно перемещению точки приложения второй единичной силы, вызванному действием первой единичной силы (рис. 15.5).

Теорема о взаимности реакций

1.Возможное перемещение по направлению i от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению j, численно равно возможному перемещению по направлению j от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению i (δ_ij = δ_ji).

2. Возможная реакция в связи i от единичного смещения связи j численно равна возможной реакции в связи j от единичного смещения связи i (r_ij = r_ji).

21. Определение перемещений в стержневых системах от температурного взаимодействия (с выводом)

 ,где Ω_Nk — площадь эпюры N_k, а Ω_Mk — площадь эпюры M_k; α — коэффициент линейного расширения материала, t₀ — значение температуры на нейтральной оси, Δt — перепад температуры, характеризующий неравномерный нагрев.