3. Движение свободной частицы

При свободном движении частицы ее полная энергия E совпадает с кинетической K, а скорость . Направим ось x вдоль вектора v. Тогда стационарное уравнение Шредингера (4) можно написать в вид

. (6)

Уравнение (6) имеет решение

,

где А и В ― некоторые постоянные. Тогда решение общего уравнения Шредингера (1) получается в форме (5)

. (7)

Решение (7) представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматических волн одинаковой частоты , распространяющихся одна в положительном направлении оси x с амплитудой А, другая ― в противоположном направлении с амплитудой В. Сравнивая полученные решения с общим выражением плоской монохроматической волны

,

видим, что для свободной частицы волновое число

.

Подобно тому, как в уравнении плоской монохроматической волны можно выделить фазу , волновая функция имеет фазу .

Таким образом, свободная частица в квантовой механике описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует одинаковая плотность вероятности обнаружить частицу в разных точках пространства. Действительно, выбирая для простоты лишь одну из волн (7), например первую, распространяющуюся а положительном направлении оси x, имеем

.

Из формулы для k следует, что зависимость энергии E от импульса P

― обычная для нерелятивистских частиц.

Рисунок 1

Энергия свободной частицы может принимать любые значения (ведь волновое число k может принимать любые положительные значения) то есть энергетический спектр свободной частицы непрерывный.

4. Частица в прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»

Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, представляет достаточно трудную математическую задачу. Однако, существуют относительно простые примеры, которые позволяют решить уравнение Шредингера без большого труда.

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной "потенциальной яме". Схематически такая "потенциальная яма" показана на рис. 2, а.

Рисунок 2

Математически такую "потенциальную яму" можно задать следующей системой соотношений

(8)

где ― ширина ямы, U ― энергия, отсчитываемая от ее дна. Примером движения такой частицы является движение коллективизированных электронов внутри металла.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в пределах ямы имеет вид:

. (9)

Опустив решение уравнения (9), запишем основные результаты.

Число k принимает лишь определенные дискретные значения

(n = 1, 2, 3, . . . ). (10)

Условие (10) имеет простой физический смысл. Так как , где ― длина волны де Бройля для электрона в "потенциальной яме", то условие (10) означает, что

или

(n = 1, 2, 3,...), (11)

то есть на длине "потенциальной ямы" должно укладываться целое число полуволн де Бройля.

Собственные значения энергии частицы:

(n = 1, 2, 3,...). (12)

Таким образом энергия электрона, находящегося в потенциальной яме, является квантованной.

Собственные функции имеют вид

(n = 1, 2, 3, . . . ). (13)

Графики собственных функций а также плотности вероятности обнаружения частицы на разных расстояниях от «стенок» ямы, определяемой выражением изображена на рис. 3, а и б соответственно.

Рисунок 3

Из графиков, в частности, следует, что в состоянии с n = 2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы, очевидно, несовместимо с представлением о траекториях. Отметим, что согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны.