6. Линейный гармонический осциллятор

Классическая механика. Линейным гармоническим осциллятором называется частица, с массой m, которая движется вдоль некоторой оси под действием квазиупругой силы F, пропорциональной отклонению x частицы от положения равновесия:

Здесь k ― коэффициент квазиупругой силы, связанный с массой m частицы и собственно циклической частотой ее колебаний формулой

.

Потенциальная энергия гармоничного осциллятора

изображена на рисунке 5а. С классической точки зрения амплитуда малых колебаний гармонического осциллятора определяется запасом его полной энергии E.

В точках А и В кинетическая энергия осциллятора равна нулю и вся энергия переходит в потенциальную энергию осциллятора.

Этим точкам соответствуют значения координат x = ± a, где а ― амплитуда классического осциллятора. За пределы области (- а, + а) классический осциллятор выйти не может.

Вероятность того, что осциллятор в течении времени dt находится на отрезке от x до x+dx, по классической механике выразится соотношением

, (16)

где ― период колебаний осциллятора.

Рисунок 5

Из рисунка 5б видно, что плотность вероятности неограниченно возрастает при приближении x к предельным точкам ± а, ограничивающим область, в которой может быть классический осциллятор.

Квантовая механика. В квантовой механике задачи о колебании механического гармонического осциллятора решается с помощью уравнения Шредингера

.

Это уравнение решается только при собственных значениях энергии

(n = 0, 1, 2, . . . ). (17)

Из этого выражения видно, что энергия принимает только дискретные значения, то есть квантуется. Причем уровни энергии расположена на одинаковом расстоянии как показано на рис. 6а.

Таким образом при переходе к рассмотрению квантового гармоничного осциллятора учитываются волновые свойства частицы, «запертой» внутри потенциальной ловушки, имеющей формулу параболы. Соотношения неопределенностей приводят к принципиально новому результату: полная энергия квантового осциллятора и амплитуда его колебаний не могут быть равны нулю.

Существует минимальное значение полной энергии гармоничности осциллятора

, (18)

называемой нулевой энергией осциллятора. Нулевая энергия осциллятора является наименьшей его энергией, совместимой с соотношениями неопределенностей. Нулевая энергия осциллятора определяется только его собственной частотой . Ее невозможно отнять у частицы никаким охлаждением, она сохранилась бы при температуре 0 К.

Нулевой энергии соответствуют нулевые колебания квантового осциллятора.

Вероятность обнаружить линейный гармонический осциллятор на участке с координатами от x до x+dx в квантовой механике равна

. (19)

Рисунок 6

Наиболее существенным отличием от является возможность обнаружить частицу за пределами классически дозволенной области (- а, + а), то есть за точками А и В. Это связано с тем, что благодаря волновым свойствам область за пределами (- а, + а), где полная энергия меньше потенциальной, не запрещена (см. рис. 6б).

По мере увеличения квантового числа n кривая распределения вероятностей все больше становится похожей на классическую кривую как показано на рис.7.

Рисунок 7

Квантовая механика позволяет вычислить вероятность различных переходов квантовой системы из одного состояния в другое. Подобные вычисления показывают, что для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними уровнями. При таких переходах квантовое число n изменяется на единицу

. (20)

Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора. Таким образом, для гармонического осциллятора существует правило отбора, выражаемое формулой (20).

Из правила (10) вытекает, что энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями . Этот результат, получающийся естественным образом в квантовой механике, совпадает с тем весьма чужеродным для классической физики предположением, которое пришлось сделать Планку, чтобы вычислить испускательную способность абсолютно черного тела. Следует отметить, что Планк предполагал, что энергия гармонического осциллятора может быть лишь целой кратной . В действительности же имеется еще нулевая энергия, существование которой было установлено только после создания квантовой механики.