5.11.3 Вычисление комплексных передаточных коэффициентов
нелинейных элементов (описывающих функций)
В
общем случае для динамических нелинейных
элементов выходной установившийся
периодический сигнал при гармоническом
входном воздействии с конкретными
значениями A и
определяется путём численного решения
дифференциального уравнения. Затем
находят значения коэффициентов
гармонической линеаризации нелинейного
элемента по формулам усреднения по
времени (табл. 5.1):
;
(5.78)
.
Эти формулы означают, что гармоническая линеаризация даёт усреднённые за период свойства нелинейного элемента по преобразованию гармонического сигнала. Повторяя эту операцию, можно получить таблицу значений коэффициента гармонической линеаризации.
В частном случае безынерционных нелинейных элементов коэффициенты гармонической линеаризации от частоты не зависят. Описывающая функция нелинейного элемента (эквивалентный оператор нелинейного элемента, эквивалентная передаточная функция) в этом случае имеют вид
(5.79)
эквивалентная частотная функция
модуль и аргумент которой вычисляются так:
,
.
1. Нелинейность кубического типа.
Пусть безынерционный нелинейный элемент имеет статическую характеристику, которую можно аппроксимировать кубической функцией
.
Входной сигнал нелинейности считаем синусоидальным:
.
Следовательно,
поскольку
и
.
Если выполняется гипотеза фильтра, то можно пренебречь третьей гармоникой и записать:
.
Поэтому для данной нелинейности описывающая функция имеет выражение
.
Поскольку эта функция играет роль коэффициента усиления, то последний возрастает с увеличением амплитуды сигнала. Тогда нелинейная система может стать неустойчивой при большой амплитуде сигнала на входе нелинейности, даже если этот сигнал и не будет синусоидальным.
2. Идеальный релейный элемент.
Так как нелинейный элемент безынерционный (рис. 5.38), то коэффициенты гармонической линеаризации от не зависят и от усреднения по времени можно перейти к усреднению по фазе.
Рис.5.38. Преобразование входного синусоидального воздействия идеальным
релейным элементом
Вычислим коэффициенты гармонической линеаризации:
,
,
.
Эквивалентная
амплитудная характеристика идеального
реле равна
:
,
а
фазовые сдвиги
,
т.е. фаза первой гармонической составляющей
выхода совпадает с фазой входа.
График эквивалентной амплитудной характеристики показан на рис.5.39, из которого видно, что малые по амплитуде сигналы проходят с большим усилением, а большие – с малым (дискриминация сигналов по уровню, рис.5.40).
Рис. 5.39. График зависимости эквивалентного усиления идеального реле от
амплитуды гармонического сигнала
Рис. 5.40. Отображение модели идеального релейного элемента в модель звена с
дискриминацией сигналов по уровню
Коэффициенты гармонической линеаризации типовых безынерционных нелинейных элементов приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Коэффициенты гармонической линеаризации типовых безынерционных нелинейных элементов
№ п.п. |
Нелинейный элемент |
Коэффициенты гармонической линеаризации |
|||
Название |
График |
|
|
||
1 |
Релейный элемент |
|
|
0 |
|
2 |
Релейный элемент с зоной нечувстви-тельности |
|
|
0 |
|
3 |
Зона насыщения |
|
|
0 |
|
4 |
Элемент с зоной нечувстви-тельности |
|
|
0 |
|
5 |
Элемент с зоной нечувстви-тельности и ограниче-нием |
|
|
0 |
|
6 |
Элемент с петлёй гистерезиса |
|
, ; , |
|
|
7 |
Элемент с зонами нечувстви-тельности и неодно- значности |
|
; , |
|
|
8 |
Люфт (зона возврата) |
|
|
|
|
9 |
Элемент с зоной неоднознач-ности |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
,
;
,
,
,
;
,
,
;
,
,
;
,
