15. Фчх. Двунапрвленная фильтрация.

В аналоговой схемотехнике тоже приходится решать проблему нелинейности

ФЧХ. Представьте на своём рабочем столе электрическую схему с резисторами и

конденсаторами. Пока сигнал на входе равен нулю, выходной сигнал тоже сохраняет

нулевое значение. Если на вход подать короткий импульс, конденсаторы

мгновенно зарядятся и далее начнут разряжаться по экспоненциальному закону

через резисторы. Импульсная характеристика (наблюдаемый выходной сигнал)

представляет собой комбинацию этих спадающих с разными скоростями экспонент.

Импульсная характеристика никак не может оказаться симметричной, поскольку

до поступления импульса на вход схемы на её выходе сигнал равнялся нулю,

а экспоненты убывают до бесконечности, так и не достигая нуля.

Разработчики аналоговых фильтров решают эту проблему при помощи фильтра

Бесселя (Глава 3). При построении фильтра Бесселя ставите~ задача сделать ФЧХ

как можно более линейной. Но такие фильтры всё равно сильно уступают по качеству

цифровым фильтрам, для которых обеспечение линейной ФЧХ - элементарная

задача.

К счастью, есть очень простой способ построения рекурсивного фильтра с нулевой

фазой (Рис. 19.8). Пусть, для примера, на вход однополюсного НЧ-фильтра

поступает прямоугольный импульс (а). Так как ФЧХ фильтра является нелинейной,

передний и задний фронты импульса оказываются несимметричными после

выполнения фильтрации: точнее говоря , задний фронт по форме совпадает с перевёрнутым

передним фронтом импульса (б). Данный фильтр вычисляет отсчёты

выходного сигнала, начиная с нулевого и заканчивая 150-м, аналогично тому, как

это происходило и в других рассмотренных ранее при мерах.

Теперь предположим, что вместо продвижения от нулевого отсчёта к 150-му,

фильтр производит обработку с,игнала в обратном направлении: от 150-го отсчёта

к нулевому. Другими словами, каждый отсчёт выходного сигнала выражается через

отсчёты входного и выходного сигналов, расположенные на временной оси

справа от него. Тогда уравнение рекурсивного фильтра (19.1) приобретает новую

форму:

Само по себе изменение направления фильтрации не приносит никакой

пользы: передний и задний фронты импульса по-прежнему отличаются друг от

друга. Но когда фильтрация производится в обоих направлениях, происходит чудо.

Импульс, изображённый на (z), получен при выполнении фильтрации сначала

в прямом, а затем в обратном направлении. Ну, как вам такой фокус?! Получается

рекурсивный фильтр с нулевой фазой. Рассмотренный метод двунаправленной

фильтрации позволяет получить фильтр с нулевой фазой практически из любого

рекурсивного фильтра. Единственной «платой» за улучшение ФЧХ является усложнение

кода программы и увеличение вдвое времени её выполнения.

Как определить импульсную и частотную характеристики полученного фильтра

с двунаправленной фильтрацией? При изменении направления фильтрации

АЧХ фильтра остаётся прежней, а все отсчёты ФЧХ меняют свой знак на противоположный.

В результате объединения двух таких фильтров в один все отсчёты

АЧХ возводятся в квадрат, а отсчёты ФЧХ обращаются в ноль. Во временной области

объединение фильтров выражается в свёртке исходной импульсной харак -

теристики с её отражением в направлении «слева направо». Для примера возьмем

однополюсный НЧ-фильтр с экспоненциально спадающей ФЧХ. Чтобы определить

импульсную характеристику соответствующего двунаправленного фильтра,

нужно выполнить свёртку экспоненты, которая спадает «слева направо», с экспонентой,

имеющей такую же скорость спада, но в направлении «справа налево».

После выполнения нескольких математических преобразований выясняется, что

импульсная характеристика результирующего фильтра имеет вид импульса, образованного

двумя экспонентами: сначала возрастающей, а затем убывающей. При

этом по скорости спада обе экспоненты повторяют исходную импульсную характеристику.

Во многих практических приложениях данные обрабатываются отдельными

блоками. В таких случаях двунаправленная фильтрация может быть использована

совместно с методом секционирования, о котором говорилось в предыдущей главе.

Если вас спросят, какова в этом случае длина импульсной характеристики, не говорите,

что она бесконечна, потому что это означало бы , что каждый сегмент дополняется

бесконечным числом нулевых отсчётов. Помните, что импульсную характеристику

можно ограничить интервалом, за пределами которого она

становится ниже уровня шумов округления, т. е. периодом, в 15 ... 20 раз превышающим

постоянную времени. Для согласования длины сегмента и длины импульсной

характеристики двунаправленного фильтра справа и слева добавляется необходимое

количество нулевых отсчётов.