1.2. Основные методы интегрирования

Существует три основных метода интегрирования.

1. Непосредственное интегрирование − вычисление интегралов с по­мощью таблицы интегралов и основных свойств неопределенных интегралов.

П р и м е р 3. Вычислить интеграл: ∫tg ² xdx.

Решение:

2. Метод подстановки. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести вычисление данного интеграла к нахож­де­нию табличного. Этот метод еще называют методом замены переменной.

Теорема 3. Пусть функция x = φ(t) определена, непрерывна и диффе­ренцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на нем, т. е. на Т определена сложная функция f(φ(t)). Тогда если ∫f(x)dx = F(x) +C , то

∫f(x)dx =∫f(φ(t)) φ ′(t)dt. (1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание. После вычисления интеграла ∫f(φ(t)) φ ′(t)dt нужно пе­рей­ти назад к переменной х.

П р и м е р 4. Найти интеграл: ∫cos³x sinxdx.

Решение:

а) Заменим sinxdx на (−d cos x), т. е. внесем функцию cos x под знак диф­ференциала. Получим

3. Метод интегрирования по частям

Теорема 4. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируе­мы на некотором промежутке Х и пусть u′(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке, т. е. существует интеграл∫u′(x)v(x)dx. Тогда на этом промежут­ке имеет первообразную и функция u(x)v′(x) и справедлива формула

∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x) −∫v(x)u′(x)dx (2)

или

∫udv = uv −∫vdu . (2′)

Формулы (2) и (2′) называются формулами интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Методом интегрирования по частям вычисляются интегралы от следую­щих функций: P(x)arcsin(ax), P(x)arccos(ax), P(x)arctg(ax), P(x)arcctg(ax), P(x)ln x, P(x)e^kx, P(x)sin kx, P(x)cos kx, здесь P(x) – многочлен; e^ax cosbx, e^ax sin bx.

Конечно, эти функции не исчерпывают всех интегралов, которые вычи­сляются с помощью метода интегрирования по частям.

П р и м е р 6. Найти интеграл: ∫arctg3xdx.

Решение. Положим u = arctg3x; dv = dx. Тогда

По формуле (2) имеем

2. Определенный интеграл

2.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла

Рассмотрим криволинейную трапецию аАВb (рис. 1), т. е. фигу­ру, ограниченную сверху графиком непрерывной функции y = f (x) , ( f (x) ≥ 0), слева и справа − отрезками аА и bВ прямых х = а, х = в, снизу − осью Оx. Разобьем отрезок точками

a = x₀ < x₁ < x₂ < …<x_i−1 < x_i < … < x_n−1 < x_n = b

на n элементарных отрезков [х_i−1, х_i] (i = 1, 2, …, n), длины которых обозначим через Δxi = x_i – x_i-1. Прямыми x = xi (i = 1, 2, …, n) криволинейную трапецию aABb разобьем на n элементарных трапеций. В каждом из элементарных отрез­ков [x_i−1, x_i] выберем произвольную точку ξ_i∈[x_i−1, x_i] и вычислим f(ξ_i ). Произведение f( ξ_i )Δx_i выражает площадь прямоугольника с основанием Δx_i и высотой f(ξ_i ), и эта площадь приближенно равна площади ΔS_i i-й элемен­тарной трапеции ΔSi ≈ f(ξ_i i)Δxi, а площадь S всей трапеции aABb равна приближенно

Сумму

называют интегральной для функции f(x) на отрезке [a, b]. Очевидно, интег­раль­ная сумма для функции f(x) и отрезка [a, b] зависит от способа разбиения отрезка [a, b] и выбора точек ξ_i, т. е.

Рис. 1

Предел интегральной суммы (при условии, что длина наибольшего отрезка Δx_i стремится к нулю) примем за площадь SaABb криволинейной трапеции:

Определение 1. Пусть на отрезке [a, b] задана функция f(x). Отрезок [a, b] точками a = x₀ < x₁ < x₂ < …< x_{n − 1} < b = x_n разобьем на n элементарных отрезков [x_i−1, x_i] (i = 1, 2, …, n) длины Δx_i = x_i − x_i−1, в каждом из этих отрезков [x_i−1, x_i] возьмем произвольную точку ξ_i и составим сумму

называемую интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b]. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм, при условии, что длина наибольшего Δx_i из элементарных отрезков стремится к нулю (n → ∞), и предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b], ни от выбора точек ξi, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] и обозначается

Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, x − переменной интегри­рования, a и b − нижним и верхним пределами интегрирования.

Поэтому можно сформулировать понятие определенного интеграла так: число I называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b], если для любого ξ> 0 существует δ> 0 такое, что при maxΔx_i < δ (т. е. отрезок [a, b] разбит на части Δx_i < δ) независимо от выбора точек ξ_i и способа разбиения выполняется неравенство

.

Из всего сказанного следует, что если f(x) > 0 на отрезке [a, b], то площадь S криволинейной трапеции aABb (рис. 1)

Функция, для которой существует предел (1) называется интегрируе­мой на отрезке [a, b].

Очевидно, если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке. В самом деле, если f(x) не ограничена на отрезке [a, b], то она не ограничена на некотором элементарном отрезке [x_i−1, x_i]. За счет выбора точки ξ_i интегральную сумму можно сделать сколько угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела.

Можно показать, что обратное утверждение не верно: существуют огра­ни­ченные функции, не являющиеся интегрируемыми.

Сформулируем без доказательства следующие утверждения:

1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она и интегрируема на этом отрезке.

2. Если функция f(x) имеет на отрезке [a, b] конечное число точек разры­ва первого рода, то она интегрируема на [a, b].