2.2. Основные свойства определенного интеграла

Свойство 1 (о перестановке пределов)

При введении определенного интеграла мы всегда подразумеваем, что a < b. Для случая a = b полагаем, по определению определенный интеграл равным нулю.

Свойство 2 (о разбиении интервала интегрирования).

Каковы бы ни были числа a, b, c, имеет место равенство

Здесь и в дальнейшем предполагается, что интегралы, входящие в формулы, существуют.

Из свойства 2 следует, что если с₁, с₂, …, с_k – как угодно расположенные числа в интервале непрерывности функции f(x), то

Свойство 2 называют свойством аддитивности определенного интеграла.

Свойство 3 (линейности)

где С₁, С₂ − постоянные числа.

Замечание. Свойство 3 имеет место для любого числа слагаемых. Это свойство говорит о том, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, а интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Свойство 4 (о знаке интеграла)

Если всюду на отрезке [a, b] функция f(x) ≥ 0 (f(x) ≤ 0), то

Свойство 5 (об интегрировании неравенств)

Если всюду на отрезке [a, b] функция f(x) ≤ g(x), то

Свойство 6

т. е. модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля функции.

2.3. Теорема об оценке. Формула среднего значения

Теорема 1 (об оценке определенного интеграла). Если m и M − соот­вет­ственно наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x) на от­рез­ке [a, b], то

Т еорема 2 (о среднем значении). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка С такая, что

Величина

называется средним значением функции f(x) на отрезке [a, b].

Замечание 1. Теорема 2 имеет четкий геометрический смысл: величина определенного интеграла при f(x) ≥ 0 равна площади прямоугольника, имею­щего высоту f(C) и основание (b − a) (рис. 2).

Имеют место более общие теоремы об оценке и среднем: если функции f(x) и φ(x) непрерывны на отрезке [a, b] и φ(x) > 0, m − наименьшее, M − наи­большее значения функции f(x), то

Из соотношений (7) и (7′) следуют соотношения (5) и (6), если принять φ(x) ≡ 1. Для непрерывных на отрезке [a, b] функций f(x) и φ(x) имеет место неравенство Коши−Буняковского:

2.4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

Формула Ньютона − Лейбница

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b]. Если x ∈ [a,b], то функция f(x) также интегрируема на любом отрезке [a, x]. Если изменять верхний предел, не выходя из отрезка [a, b], то величина интеграла будет изменяться, т. е. интеграл

с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x есть функция верхнего предела. Обозначим эту функцию Ф(x):

Замечание. Для удобства переменная интегрирования здесь обозначена буквой t, так как буквой x обозначен верхний предел интегрирования. Интег­рал (8) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Сформулируем основную теорему дифференциального и интегрального исчисления, устанавливающую связь между производной и интегралом.

Теорема 3. Производная интеграла от непрерывной функции по пере­мен­ному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.

Эта теорема утверждает, что любая непрерывная функция на отрезке [a, b] имеет на нем первообразную, причем этой первообразной является функция Ф(x), а так как всякая другая первообразная функции f(x) может отличаться от данной Ф(x) лишь на постоянную, то устанавливается связь между неопределенным и определенным интегралом

Теорема 4. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то

, (10)

где F(x) − некоторая первообразная функции f(x).

Формула (10) называется формулой Ньютона − Лейбница. Формулу Ньютона − Лейбница можно переписать как

где

Вывод. Определенный интеграл от непрерывной функции f(x) равен разности значений любой первообразной для верхнего и нижнего преде­лов интегрирования.

Формула Ньютона − Лейбница открывает широкие возможности для вы­числения определенных интегралов, так как задача сводится к задаче вы­чис­ления неопределенных интегралов.

Если считать переменным нижний предел интегрирования, то пользуясь формулой Ньютона − Лейбница, получим

Теорема 5. Если f(x) − непрерывная, φ(x), ψ(x) − дифференцируемые функции, то производная от интеграла по переменной x

П р и м е р . Найти производную по x от интеграла

Решение. Здесь

φ΄(x) = 2x,

Пользуясь формулой (12), получим