2.4 Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций , , ,

Выше были установлены количественные соотношения между p, Т, , p₀, Т₀, и скоростным коэффициентом . Эти выражения представляют собой степенные зависимости различного уровня сложности, что затрудняет, а иногда делает невозможным получение аналитического решения в явном виде.

Часто встречающимся комбинациям параметров присвоили условные обозначения и назвали газодинамическими функциями. Значения газодинамических функций в зависимости от и k вычислены и сведены в таблицы, что значительно облегчает расчеты. К этим функциям относят:

Связь между ними выражается формулой

.

Указанные уравнения связывают параметры газа в одном и том же сечении потока и справедливы независимо от характера течения и происходящих в газе процессов. Переход от параметров в потоке к параметрам заторможенного газа по определению происходит по идеальной адиабате.

С увеличением от нуля до функции , , монотонно уменьшаются от 1 до 0. Это соответствует их физическому смыслу: при малых скоростях ( ) параметры в потоке практически не отличаются от параметров полностью заторможенного газа; с увеличением скорости до предельного значения ( , ) Т, p и при конечном значении параметров торможения стремятся к нулю.

Располагая графиками или таблицами, в которых для каждого значения приведены значения функций , , можно быстро определить параметры торможения по параметрам в потоке и наоборот.

Рассмотрим две газодинамические функции, которые используются в уравнении неразрывности потока. Для этого выразим плотность и скорость потока V через параметры торможения p₀, Т₀ и приведенную скорость :

,

.

Подставим в уравнение секундного расхода газа полученные выражения

.

Умножим обе части этого выражения на

. (2.19)

Это уравнение связывает расход газа в данном сечении S, скорость в котором задана скоростным коэффициентом λ, с полным давлением, критической скоростью звука и некоторой функцией приведенной скорости

,

где – введенная ранее газодинамическая функция.

Новую газодинамическую функцию определяют как величину, пропорциональную :

.

Коэффициент пропорциональности выбран так, чтобы при иметь . Представленную в таком виде газодинамическую функцию интерпретируют как безразмерную плотность потока:

.

Действительно

.

График функции приведена рис. 2.3.

Рис. 2.3. Зависимость q и y от 

При увеличении от 0 до 1 величина растет от 0 до и далее вновь снижается до нуля при .

Подставляя в (2.19) функцию , имеем

. (2.20)

Заменяя в (2.20) критическую скорость ее значением получим ранее приведенную формулу для вычисления расхода газа:

,

где .

Для воздуха k = 1,4; R = 287 Дж/(кгК), В_G = 0,04 [м^-1сК^0,5].

При течении со скоростью звука и сечение S оказывается критическим.

При решении ряда задач требуется связать расход газа не с полным, а со статическим давлением в потоке. Такую связь получим из (2.20), если заменить в ней правую часть величиной полного давления согласно выражению

.

Получим соотношение

,

и

, (2.21)

где функция

является второй газодинамической функцией, с помощью которой можно вычислить расход газа. Вид этой функции представлен на рис. 2.3 (ее значения при различных k можно найти в справочных таблицах по газодинамическим функциям). При .

Формулы (2.20) и (2.21) выражают расход газа через параметры его состояния в рассматриваемом сечении потока, и потому справедливы независимо от характера процессов, происходящих в потоке газа.