3. Ударные волны

3.1. Плоская ударная волна

Малые упругие возмущения в жидкостях распространяются со скоростью звука. В жидкости имеют место и сильные или, так называемые, конечные возмущения. При малых возмущениях приращение какого-либо параметра мало по сравнению с его значением до появления возмущения. Например,

,

где – давление до появления возмущения; – наибольшее давление после появления первого возмущения.

При конечном возмущении может равняться единице и быть значительно больше. При малых возмущениях все параметры потока являются непрерывными функциями координат и времени. При конечных возмущениях параметры потока (V, , р, Т ) претерпевают конечные разрывы. В этом главное отличие малых возмущений от конечных. Возмущения, вызванные в сжимаемых жидкостях и газах, в том числе и распространение звука, могут быть, в зависимости от условий, либо малыми, либо конечными возмущениями.

В обычных условиях акустические возмущения являются малыми возмущениями и распространяются со скоростью звука, а при сильных взрывах они будут конечными, и скорость их распространения может значительно превосходить скорость звука.

Движение при малых возмущениях и движение при конечных возмущениях математически описываются различными уравнениями. Первое определяется линейным дифференциальным уравнением в частных производных, называемым в математике волновым уравнением. Движение при наличии конечных возмущений описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, решение которых представляет большие трудности.

Р ассмотрим качественную картину образования конечного разрыва в газе, называемом скачком уплотнения. Пусть в бесконечной трубе с неподвижным газом в некоторый момент времени мгновенно начинает двигаться поршень П с некоторой конечной скоростью V. Тогда в момент , мало отличающийся от , параметры газа на бесконечности останутся неизменными, а в непосредственной близости перед и за поршнем они будут существенно отличаться от параметров газа, имевших место до начала движения поршня. Если труба теплоизолирована от внешней среды и движение газа будет адиабатическим и изэнтропическим, то перед поршнем газ, сжимаясь, вызовет увеличение плотности, давления и температуры, а за поршнем образуется разрежение, и указанные параметры газа уменьшатся. Скорость потока в непосредственной близости от поршня (как перед, так и за ним) будет равна скорости движения поршня.

В каждый момент времени все параметры газа в трубе изменяются непрерывно от их значения на поршне (на передней и задней его поверхностях) до их значений на бесконечности. Предположим, что вносимые поршнем в поток возмущения – малые. Тогда скорость их распространения равна скорости звука . В момент температура газа перед поршнем убывает вдоль трубы ( ), а за поршнем она растет при удалении от него ( ). Местная скорость звука, поскольку она пропорциональна температуре, перед поршнем убывает вдоль трубы, а за поршнем (при удалении от него) растет.

Если распространение скоростей вдоль трубы (перед и за поршнем) в момент времени представить кривой 1, то соответствующие кривые в моменты времени , , будут иметь вид кривых 2, 3 и 4. Кривая 2 перед поршнем может быть получена из кривой 1 путем добавки в каждой точке соответствующего значения скорости звука. За промежуток времени точки кривой 1 сместятся в горизонтальном направлении на отрезки тем большие, чем больше ординаты кривой 1, т.е., наклон линии, характеризующей изменение скорости вдоль координаты x, возрастает. В последующие моменты времени это увеличение крутизны будет продолжаться, и в момент в некотором сечении кривая станет перпендикулярна оси x т.е. произойдет скачок скорости. Аналогичные изменения будут происходить и с другими параметрами потока. При этом в сечении, где происходит скачкообразное уменьшение скорости, давление, температура и плотность увеличиваются. Такой скачок называют скачком уплотнения. В действительности параметры потока изменяются не скачкообразно, а на некоторой весьма малой длине, имеющей величину порядка пути свободного пробега молекулы.

За поршнем в области разряжения картина будет обратной. Поскольку скорость звука с удалением от поршня в обратную сторону растет, то к точкам кривой, 1 с меньшими скоростями будут добавляться большие отрезки, и кривая изменеия скорости в пространстве растягивается. Наклон кривых в последующие моменты времени уменьшается, что приводит к образованию волн разрежения. В этой области скорости и другие параметры изменяются непрерывно, а скачки и ударные волны не образуются.

Рассмотрим качественное изменение параметров потока в скачке, образованном от перемещения поршня в трубе. В этом случае плоскость скачка будет перемещаться вдоль оси трубы, а направление перемещение скачка и плоскость скачка перпендикулярны друг другу. Такие скачки называются прямыми.

В системе координат, связанной с трубой движение ударной волны вдоль трубки будет нестационарным, так как параметры потока в любой точка трубы будут зависать от времени. Для приведения задачи к стационарной введем систему координат, связанную с плоскостью ударной волны. Тогда ударную волну можно считать неподвижной, параметры потока перед и за скачком постоянными величинами, скачкообразно изменяющимися в плоскости ударной волны.

На рисунке справа показаны параметры потока перед и за скачком. Т.к. при движении поршня образовавшаяся ударная волна перемещается в невозмущенной среде, то в системе координат, связанной с ударной волной, скорость перед скачком будет равна скорости перемещения ударной волны.