1.Моделирование дискретных сигналов и систем. Краткие теоретические сведения

1.1. Z-преобразование дискретных сигналов

Z-преобразование является одним из обобщений дискретного преобразования Фурье и применимо только к дискретным сигналам или последовательностям [1-3].

Формальным определением z-преобразования произвольной последовательности чисел S(k), k = 0, 1, …, служит степенной ряд

(1)

где z – в общем случае комплексная переменная.

Если S(k) – отсчёты непрерывного сигнала S(t), взятые через интервал времени Δt, т.е. S(k) = S(k∙Δt), то D_S(z) является z-преобразованием дискретного сигнала. Если S(k) – отсчёты импульсной характеристики g(t) некоторой линейной цепи, т.е. S(k) = g(k∙Δt), то D_g(z) является обобщённым коэффициентом передачи (или системной функцией) этой цепи. В обоих случаях D(z) несёт всю информацию о сигналах или цепях и позволяет решать разнообразные задачи анализа и синтеза сигналов и цепей (фильтров).

Практическое значение имеет одностороннее z-преобразование (1), когда полагается, что последовательность S(k) имеет начало. Иными словами, определение (1) используется только для реализуемых (реально существующих) сигналов или цепей. Однако теоретически можно рассматривать и двустороннее z-преобразование для неограниченных в обе стороны последовательностей S(k), k = 0, 1, 2, … .

Обращение (1) в общем виде даётся контурным интегралом

(2)

и позволяет вычислять значения последовательности S(k) по заданной функции D(z). Существует несколько способов нахождения обратного z-преобразования (2) [2, 7]. В частности, элементы последовательности S(k) можно определить по формуле

(2а)

полагая 0! = 1.

Z-преобразование обладает рядом свойств, аналогичных преобразованию Фурье. Представим взаимосвязи (1) и (2) в символической форме S(k)   D(z), тогда можно выделить следующие свойства:

а) если дано S_i(k)  D_i(z), i=1, 2, …, L, то для произвольных констант a_i имеем

Это свойство характеризует линейность z-преобразования;

б) если дано S(k)  D(z), то

где k₀ – целое положительное число.

Здесь отражена теорема о сдвигах (задержках) сигнала. Она имеет важное следствие. Напомним, задержка непрерывного сигнала S(t – ₀) реализуется в цепи с коэффициентом передачи Аналогично в дискретных системах задержка сигнала на k₀ отсчётов реализуется цепью с обобщённым коэффициентом передачи D(z) = z ^–ko;

в) если S_i(k)  D_i(k), i = 1, 2, то для свёртки (обозначено звёздочкой) этих последовательностей

(3)

имеем

(4)

В частности, автосвёртка последовательности S(k) (когда S₁(k) = S₂(k) = = S(k)) даёт z-преобразование

(4а)

Эти свойства z-преобразования являются основными и позволяют решать разнообразные задачи по формированию и преобразованию дискретных сигналов.

В данном пособии изучаются процессы генерации дискретных сигналов и их свёрток. В основе используется следующая методика. Для произвольной ЛПП-системы (линейной с постоянными параметрами), показанной на рис.1, с системной функцией D(z)  g(k) свойства (3) и (4) z-преобразования проявляются следующим образом:

(5)

Рис. 1

Это означает, что ЛПП-систему с импульсной характеристикой g(k) = = S(k), k = 0, 1, … , можно рассматривать и как схему генерации сигна- ла S(k). Действительно, её запуск единичным отсчетом в нулевой момент времени X(k)= (k), где (k) – символ Кронекера

(6)

даёт:

(7)

Здесь учтено, что D_X(z) = 1. Другие варианты запуска X(k) позволяют получать комбинированные последовательности сигналов S(k) или их свёрток с заданными сигналами.