1.3. Генераторы элементарных сигналов

Рассмотрим примеры построения генераторов элементарных сигналов.

1. Источник равномерной последовательности.

Положим, необходимо получить сигнал вида

(13)

Z-преобразование этого сигнала равно

(14)

Здесь учтены свойства геометрической прогрессии:

(15)

Два варианта (14) системной функции D(z) реализуются соответствующими схемами (рис.4,а,б).

З апуск этих схем осуществляется дельта-функцией Кронекера (k). Динамика работы показана эпюрами на схеме. Моделировать эти схемы можно по следующим алгоритмам, (см. 12):

а)

(16)

б)

полагая на входе X(k) = (k). Масштабный множитель S₀ в алгоритмах опущен.

2. Источник убывающей (возрастающей) последовательности.

П оложим, генерируемый сигнал должен иметь вид

(17)

а

X(k)

z^-1

z^-1

z^-1

1

1

1

1

Y(k)

S₀

1

…

Y(k)

б

Рис.4

Здесь а > 0. Z-преобразование сигнала равно, см. (15):

(18)

В данном случае рекурсивный вариант схемы предпочтителен (содержит меньше различных множителей). Схема представлена на рис.5.

Рис.5

Как видно, эта схема аналогична схеме, изображенной на рис.4,б, с той лишь разницей, что теперь в «кольце» рекурсивной части вместо 1 «крутится» число а, образуя на каждом такте степени в (17). Процесс прекращается на такте с номером k = N₀. Это обеспечивает нерекурсивная часть схемы. Алгоритм функционирования схемы задается равенством (масштабный множитель S₀ опущен)

(19)

с условием X(k)= (k).

3. Источник гармонической последовательности.

Рассмотрим сигнал вида

(20)

Здесь М – число отсчётов на период гармонической функции, а весь сигнал включает n периодов: N₀ = n∙M.

Примечание. Формула (20) соответствует аналоговому варианту сигнала:

Отрезок Т включает целое число (n) периодов гармонических функций: n = T/T₀ = f₀∙T . Замена непрерывного времени на дискретное t  k∙Δt, k = 0 (1) N₀–1 с учётом условий: N₀ = T/Δt = n∙T₀/Δt = n∙M дает дискретный вариант сигнала

c параметром (номером частоты): n = N₀/M = f₀∙T.

Перепишем (20) в иной форме:

Теперь также можно использовать свойство геометрической прогрессии:

(21)

Отсюда следует, что схема «генератора» включает две части (рис.6). Первая часть задаёт границы сигнала – по формуле (20). Вторую часть называют идеальным косинусным резонатором с параметрами:

(22)

Возбуждая его указанным способом, получаем дискретную гармоническую функцию заданной длины. Обратите внимание: здесь гарантированно значение начальной фазы φ₀. В аналоговых генераторах это недостижимо.

Рис.6

Моделируется схема, изображенная на рис.6, следующим образом (масштабный множитель S₀ oпущен):

(23)

Заметим: если менять параметры S₀, M или φ₀ сигнала (следовательно, и схемы) на тактах, кратных N₀, то получим эффекты модуляции (амплитудной, частотной и фазовой). Так, для имитации частотно-манипулированных сигналов достаточно менять два параметра схемы b₁ и a₁, см. (22).

В рассмотренных примерах можно выделить два характерных момента. Рекурсивная структура генератора (как более экономная) возможна только в случае, если последовательность S(k), k= 0 (1) N₀–1 образует геометрическую прогрессию. При этом границы последовательности фиксируются схемой с системной функцией

( см. рис.4,б и рис.6) или как на рис.5:

Для некоторого класса сигналов (даже при наличии частичных геометрических прогрессий) нерекурсивная структура генератора остается безальтернативной. Это имеет место, например, в случаях четной или нечетной симметрии теоретической модели сигнала:

c асимптотическим убыванием:

П римерами могут служить последовательности:

и др. Такие ряды часто встречаются в теории дискретных сигналов и цепей.

Основная проблема здесь – в «отрицательном» времени. Её можно обойти следующим образом.

П оложим, необходимо генерировать усечённую последовательность , включающую N₀+1 отсчётов (N₀ – чётное). Чтобы исключить двустороннее z-преобразование, введём замену

(24)

Теперь проблема положительных степеней в z-преобразовании (т.е. «отрицательного» времени) исчезает:

В соответствии с этим схема генератора принимает вид, представленный на рис.7. Параметры схемы b_n рассчитываются с учетом формулы (24): b_n = = S₀(n), n = 0 (1) N₀. Наращивая в обе стороны от середины число звеньев схемы (т.е. увеличивая N₀), можно аппроксимировать теоретический сигнал S(k) с приемлемой точностью.

Рис.7

Работа схемы моделируется алгоритмом, см. (12):

(25)

Как нетрудно заметить, здесь Y(k) восстанавливает задержанную копию сигнала: