Раздел I. Основы теории надежности Основные понятия теории вероятностей

Основными показателями технической эффективности любой системы являются производительность и надежность. Проблема надежности включает вопросы поддержания физического (технического) состояния аппаратных и программных средств и обеспечения их работоспособности. Моменты появления отказов и сбоев, время поиска и устранения неисправностей, моменты появления ошибок в программах и продолжительность их поиска зависят от очень многих факторов и поэтому непредсказуемы, т.е. случайны. Неисправность мо­жет случиться через год, а мо­жет – через час. Поэтому невозможно предсказать точное время таких событий, а можно только прогнозировать их с большей или меньшей вероятностью.

Для определения этой вероятности необходимо знать законы распределения вероятностей случайных величин, например, отказов.

Теория вероятностей позволяет прогнозировать не всякие случайные события, а только такие из них, которые подчиняются статистическим законам распределения вероятностей. Эти законы устанавливаются путем статистических испытаний – путем организации опытов и наблюдения за ними с фиксированием результатов. Эти результаты подвергаются затем математической обработке.

Например, на испытание в течение определенного времени ставится партия принтеров, и фиксируются моменты отказов. Это дает возможность определить среднее время от отказа до отказа (MTBF). Пусть в лотерее участвует 100 человек. Разыгрывается 100 билетов, из которых 10 выигрышных. Выпадение выигрыша на одного из участников – дело случая (может выпасть, а может – нет), но эта ситуация подпадает под теорию вероятностей, т.к. имеется статистическая закономерность выпадения выигрыша, равная 0,1.

Несмотря на случайный характер нарушения работы АСОИиУ, пользователи и обслуживающий персонал имеют возможность прогнозировать поведение ПК в процессе эксплуатации и организовывать их ремонт и снабжение запасными деталями. Возможно также создать математическую модель процесса эксплуатации ЭВМ и даже сети, как сложной системы, функционирующей в среде воздействия случайных факторов. Математическая модель процесса эксплуатации задается совокупностью законов распределения ряда случайных величин, которые перед этим должны быть определены в результате статистических испытаний. К этим величинам относятся, например, средняя наработка на отказ, вероятность безотказной работы, среднее время восстановления и др.

Теория вероятностей, как раздел математики, появилась в связи с изучением азартных игр, но потом получила распространение во многих областях, особенно связанных с обслуживанием. Например, зная среднедушевое потребление хлеба в населенном пункте, можно правильно организовать работу пекарни. Пусть известно, что для поражения цели нужно 2,5 заряда. Ценна ли такая информация? На первый взгляд – бесполезная и весьма абсурдная. На самом деле эта величина позволяет обеспечить снабжение для поражения, например, 100 целей (250 снарядов). Еще точнее будет результат, если целей будет не 100, а 1000. В этом случае риск, что не будет хватать зарядов или останутся лишние, будет минимальным. При дальнейшем увеличении числа целей этот риск практически сводится к нулю. На интуитивном уровне делаем важный вывод: чем больше объем статистики, тем достовернее результат.

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие событие. Под событием понимают любой факт, любое изменение состояния, которое может произойти, а может и не произойти в результате опыта, называемого испытанием. Классический пример опыта – подбрасывание монеты; событие – выпадание «орла». Событием может быть выход с конвейера неисправного телевизора. Событие принято обозначать буквами A,B,C,… События можно классифицировать по нескольким критериям.

Различают совместные и несовместные события. Совместными называют такие события, когда наступление одного из них сопровождается другим в одном и том же опыте. В противном случае событие является несовместным. Допустим, в урне лежат белые и черные шары. Если доставать их по два, не глядя, то могут быть извлечены белый и черный шары. Это – совместное событие. Если доставать по одному, то может быть или белый, или черный шар, а одновременное их появление невозможно.

Событие может быть достоверным, случайным или невозможным. Достоверное событие происходит всегда и при любых условиях. Случайное событие может произойти, а может и не произойти. Невозможное событие не может произойти ни при каких условиях. Различают еще практически достоверное событие и практически невозможное событие, которые не могут произойти, но почему-то происходят. Случайные события могут иметь равные шансы на появление. Такие события называют равновероятными.

Очень важным понятием является полная группа событий. Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта появляется хотя бы одно из них. Частным случаем является противоположное событие (читается «не A»). Противоположное событие появляется обязательно, если не произошло событие A, например, появление отказа принтера в течение 3-х месяцев работы является событием, противоположным отсутствию отказа за этот же период. Противоположные события A и несовместны и образуют полную группу событий.

К оличественной оценкой (численной мерой, численной характеристикой) возможности появления события является вероятность события. Классическое определение вероятности события по Лагранжу гласит: вероятность появления события A в опыте равна отношению числа случаев M, благоприятствующих событию, к общему числу случаев N:

Случай называется благоприятствующим событию, если влечет за собой появление этого события.

Вероятность события A может принимать значения от нуля до единицы в зависимости от того, какую долю составляет число случаев, благоприятствующих событию, от общего их числа, например, вероятность вытащить из колоды карт туза составляет .

Классическое определение вероятности событий по Лагранжу дает теоретическую оценку, для получения которой требуется провести бесконечно большое число опытов. На практике пользуются приближенной оценкой, которая называется статистической вероятностью событий. Классическая и статистическая вероятности сходятся при неограниченном числе испытаний, например, классическая вероятность выпадания «орла» при подбрасывании монеты равна 0,5. При 4-х тысячах опытов отклонение от классической вероятности равно 0, 0069, а при 24-х тысячах опытов – 0,0005. Это положение носит название закона Бернулли (закон больших чисел).

Следствия из закона Лапласа:

1. вероятность невозможного события равна нулю, достоверного – единице;

2. вероятность появления какого-либо события из составляющих полную группу равна единице;

3. в ероятность появления противоположных событий:

Пример 1. В коробке лежат 20 микросхем типа A и 30 микросхем типа B. Какова вероятность извлечения микросхем типа A?

Ч исло благоприятствующих случаев – 20, число всех событий – 30+20 = 50. Вероятность

Пример 2. В ящике находятся 10 бракованных и 15 хороших изделий. Если наугад выбрать 3 изделия, какова будет вероятность, что все изделия будут годными?

Ч исло благоприятствующих случаев равно числу сочетаний из 15-ти по 3 – . Общее число случаев равно . Искомая вероятность:

Пример 3. Вероятность отказа дисплея за 2 года работы равна 20%. Какова вероятность безотказной работы?

Имеется полная группа несовместных противоположных событий A и , причем A = 20%. Следовательно, P( ) = 1-P(A) = 80%.

В заключение отметим, что в теории вероятностей понятие вероятности событий является фундаментальным.