2. Типичные ошибки при выполнении письменных вычислений, пути их предупреждения и исправления

Одна из задач математической подготовки младших школьников - формирование вычислительных навыков. Это сложный и длительный процесс, эффективность которого во многом зависит от индивидуальных особенностей ребёнка, уровня его подготовки и способов организации вычислительной деятельности. Письменные вычисления имеют повсеместное применение, являются фундаментом изучения математических и других учебных дисциплин.

Проблеме формирования вычислительных навыков, в том числе навыков письменных вычислений, посвящены публикации М.А. Бантовой, М.Б. Волович, В.В. Давыдова, О.А. Ивашовой, Н.Б. Истоминой, В.Н. Медведской, С.С. Минаевой, П.Б. Ройтмана, Т.М. Чеботоревской, Я.Ф. Чекмарева. Однако, несмотря на простоту алгоритмов письменного сложения и вычитания, учащиеся допускают достаточно много ошибок. Одна из причин - игнорирование особенностей методики изучения материала, предполагающих использование наглядности в виде опорных схем и абака, применение проблемного и практического методов, самостоятельной работы, а также отработки навыка на системе специально подготовленных упражнений тренировочного и творческого характера [Истомина, 2006, с.193].

По мнению М.А. Бантовой вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приемами. Приобрести вычислительные навыки - значит для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро.

Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью.

Правильность - ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т.е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.

Осознанность - ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности выбора операций. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать. Это, конечно, не значит, что ученик всегда должен объяснять решение каждого примера. Как буде показано далее, в процессе овладения навыком объяснение должно постепенно свертываться.

Рациональность - ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный прием, т.е. выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик, используя различные знания, может сконструировать несколько приемов и выбрать более рациональный. Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.

Обобщенность - ученик может применить прием вычисления к большему числу случаев, т.е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи. Обобщенность так же, как и рациональность, теснейшем образом связана с осознанностью вычислительного навыка, поскольку общим для различных случаев вычисления будет прием, основа которого - одни и те же теоретические положения.

Автоматизм (свернутость) - ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.

Прочность - ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

Целенаправленную деятельность по отработке вычислительных умений и навыков необходимо осуществлять, руководствуясь следующими требованиями:

1. Обязательная подготовительная работа к выполнению вычислений на каждом уроке.

2. Создание определенного настроения учащихся на предстоящие вычисления при помощи форм и приемов работы, которые активизируют внимание учащихся, повышают их ответственность и желание получить правильный результат.

3. Соблюдение постепенного нарастания сложности в письменных вычислениях (переход через один разряд, два разряда, случаи, когда уменьшаемое содержит нули).

4. Проверка полученного результата. В данном случае проверка выступает как прием самоконтроля, который воспитывает у учащихся ответственность и вызывает интерес к выполненной работе.

5. Систематический самоконтроль деятельности учащихся и анализ допущенных ими ошибок. Контроль позволяет организовать целенаправленную индивидуальную работу, вовремя обратить внимание ученика на проблемы в его знаниях, умениях и навыках, целенаправленно использовать тренировочные упражнения.

6. Соблюдение количественной меры решаемых примеров. Практика показывает, что если ученик решает подряд более 4 - 5 примеров, то количество ошибок возрастает. Это связано с напряжением внимания [Аргинская, 2005, с.15].

Рассмотрим типичные ошибки учеников при выполнении письменных заданий на сложение и вычитание.

1. Ошибка в записи чисел в столбик.

С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с учениками такие неверные решения, в результате чего они должны заметить, что в данном примере неверно подписаны числа, поэтому сложили десятки с единицами, сотни с десятками, а надо числа подписывать так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками и т.д., и складывать единицы с единицами, десятки с десятками и т.д. Кроме того, нужно научить учеников проверять решение примеров. Названную ошибку легко обнаружить, выполнив проверку способом прикидки результата. Так, в отношении приведенного примера на сложение рассуждение ученика будет таким: «К 5 сотням прибавили число, которое меньше 1 сотни, а в сумме получили 9 сотен, значит в решении допущена ошибка».

2. Ошибка в постановке знака.

Знак "плюс", а ученик вычитает.

3. Забыли о переполнении десятка; неправильно определили количество единиц, прибавляемых к единицам высшего разряда; не прибавили к единицам высшего разряда:

Ошибки при выполнении письменного сложения, обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, например: Предупреждению таких ошибок также помогает обсуждение с учениками неверно решенных примеров. После этого важно подчеркнуть, что всегда надо проверять себя - не забыли ли прибавить число, которое надо было запомнить, и не забыли ли о том, что занимали единицы какого-то разряда. Выявлению таких ошибок самими учениками помогает выполнение проверок сложения вычитанием и вычитания сложением. Заметим, что в некоторых методических пособиях и статьях для предупреждения названных ошибок в письменном сложении с переходом через десяток рекомендуется начинать сложение с единиц, которые запоминали.

Например, при решении приведенного примера ученик тогда должен рассуждать: "К девяти прибавить пять, получится 14, четыре пишем, а 1 запоминаем: 1 да 3 - четыре, да 2, всего 6" и т.д. Этого делать не следует, потому что некоторые ученики переносят этот прием на письменное умножение, что вызовет ошибку, например при умножении чисел 354 и 6 они рассуждают так: "4 умножить на 6, получится 24, четыре пишем, два запоминаем; 2 да 5 - 7, семь умножить на шесть, получится 42" и т.д.

4. Неправильно определили количество цифр в сумме.

5. Ошибки при сложении чисел в пределах десяти или с переходом через десять.

Процесс овладения вычислительными навыками довольно сложен: сначала ученики должны усвоить тот или иной вычислительный прием, а затем в результате тренировки научиться достаточно быстро выполнять вычисления, а в отношении табличных случаев - запомнить результаты наизусть. К тому же в каждом концентре изучается довольно большое количество приемов, поэтому естественно, что не все ученики сразу усваивают их, часть допускают ошибки [Зотова, 1998, С. 55-58.].