3) Логическая форма –это способ связи элементов высказывания, его структура.

Рассмотрим понятие логической формы и содержание мысли на примере такого наиболее знакомого вида знания, как суждение (высказывание) в котором утверждается наличие или отсутствие какой-либо ситуации в некоторой действительности.

Действительность:

Два – простое число

Земля  - вращается вокруг солнца

Чтобы выявить логическую формулу и логическое содержание суждения надо отвлечься от того каковы именно те конкретные предметы, о которых в нем что-то утверждается и каковы именно те конкретные свойства или отношения, наличие или отсутствие которых у этих предметов утверждается

Отвлекаясь от того, что в суждении «все металлы являются химически простыми веществами» речь идет о металлах, мы можем обозначить их просо переменной S, а вместо свойства «химически простое вещество» ввести переменнуюP, получим формулу:

Все s суть p

Суть – не суть – связки двух суждений, показывают являются ли суждения     утвердительными или отрицательными, множественными – это так называемые кванторные слова.

Это выражение обладает еще определенным содержанием, оно в определенной степени осмысленно, а именно в нем утверждается, что всякий предмет, обладающий каким-то свойством S, имеет свойство P. Это содержание, т. е. информация, которую представляет логическая форма высказывания и называется логическим содержанием взыскания.

 Заметим, однако, что в каждом взыскании мы различаем дескриптивные и логические термины.

Дескриптивные  - это термины, обозначающие предметы, свойства, отношения, именно они определяют конкретное содержание мысли, и именно от их конкретных значений мы отвлекаемся при выявлении логической формы.

 К числу логических терминов относятся такие знакомые выражения, как:

«все», «некоторые», «и», «если», «то», «или», «неверно что» и др.

Именно от них, и прежде всего от тех сочетаний дескриптивных терминов, которые с помощью них образуются, зависят логические содержания в высказывании. Логические формы высказывания, как и их логические содержания, необходимы для выявления законов логики, лежащих в основе правильных форм рассуждений (умозаключений).

4) Под исчислением предикатов понимается формальный язык для представления отношений в некоторой предметной области. Основное преимущество исчисления предикатов - хорошо понятный мощный механизм математического вывода, который может быть непосредственно запрограммирован. Дальнейшее изложение ведется с учетом того, что читатель знаком с основами булевой алгебры.

Предикатом называют предложение, принимающее только два значения: "истина" или "ложь". Для обозначения предикатов применяются логические связки между высказываниями: ¬ - не,  - или,  - и,  - если, а также квантор  существования и квантор всеобщности 

x(...) - существует такой x, что ...

x(...) - для любого x

Таким образом, логика предикатов оперирует логическими связками между высказываниями, например, она решает вопросы: можно ли на основе высказывания A получить высказывание B и т.д.

Рассмотрим некоторые примеры. Высказывание "у каждого человека есть отец" можно записать:

x  y (человек(x)  отец(y,x))

Выражение "Джон владеет красной машиной" записывается, например, так:

x ( владеет(Джон, x)  машина(x)  красный(x))

5) Понятие является мыслью (формой мысли), в которой посредством общего или описательного единичного имени представлен любой из предметов некоторого множества предметов, выделенных на основе одинаковых для них признаков. Слово «предмет» обозначает здесь все то, что становится объектом нашей мысли: это может быть отдельная вещь или ее свойство, ситуация, какое-либо состояние или процесс. Зная, что понятия выражаются в языке именами (простыми или сложными), нетрудно привести их примеры: «молекула», «студент», «кража», «треугольник», «первый летчик-космонавт» и т.п. Одно из отличий понятия от слова (имени), выражающего это понятие, состоит в том, что одно и то же понятие может быть выражено различными словами или наборами слов. Так, слова «человек», «Der Mensch» и «man» совершенно различны, поскольку взяты из разных языков. Однако мыслится с их помощью одно и то же: любой из тех высших приматов, который наделен разумом. Одно и то же понятие может выражаться различными словесными знаками даже в пределах одного и того же языка. Например, словосочетания «холостой мужчина» и «неженатый мужчина», «больной человек» и «нездоровый человек» (если отвлечься от несущественных смысловых нюансов) выражают (попарно взятые) одну и ту же мысль (понятие).

Каждое понятие характеризуется двумя своими аспектами («измерениями») – объемом и содержанием. Объем понятия составляет множество всех мыслимых – обобщаемых и выделяемых – в нем предметов (объектов), а содержание – совокупность признаков этих предметов, на основе которых они обобщены и выделены в данном понятии.

Признаки – это такие характеристики предметов, которые указывают на наличие или отсутствие у них тех или иных свойств или отношений. Один из признаков, мыслимых в содержании понятия «треугольник» - «быть плоской геометрической фигурой», другой – «иметь три замкнутые стороны». В содержание понятия «кража» входят признаки: «быть хищением чужого имущества» и «быть тайным (деянием)» (эти признаки в юриспруденции называют составом преступления). По признакам происходит обобщение мыслимых в понятии предметов. К примеру, в понятии «студент» мы отвлекаемся от всех индивидуальных характеристик молодых людей, ставших студентами, делаем их как бы неразличимыми (хотя при этом предполагается, что каждый из студентов чем-то отличается от другого).

6) Понятие - единство объема и содержания. Объем понятия отражает совокупность предметов, обладающих одинаковыми признаками, составляющими содержание понятия (человек - население планеты; туризм - все виды активного отдыха).

Виды понятий:

а) по количественному признаку (по объему):

Общие, единичные, нулевые,исчислимые (регистрирующие), неисчислимые (нерегистрирующие)

б) по качественному признаку (по содержанию):

утвердительные, конкретные, соотносительные, собирательные,отрицательные, абстрактные, безотносительные, разделительные

Единичные понятия отражают единственный предмет (явление, процесс), объем их индивидуален (понятия о солнце, о путче августа 1991г., о затмении солнца в 585 г. до н.э.).

Общие понятия - их объемы отражают два и более однородных предмета (явления) до их множества: дом, совесть. Может выражаться ед. числ. (стол, столы общее понятие).

Пустые (нулевые) понятия - их объемы отражают пустые предметные области, им не соответствуют реальные объекты. Отражают идеальные объекты, наделенные предельными свойствами (идеальный газ). Понятия о сказочных мифологических объектах (русалка).

Регистрирующие (исчислимые) понятия - конечные по объему, отражающие поддающуюся исчислению область (множество, класс) предметов: дни недели, времена года.

Нерегистрирующие (неисчислимые) понятия - их объемы не поддаются исчислению. Это широкие понятия: количество; общие понятия: человек; абстрактные понятия: белизна.

Утвердительные (положительные) отражают наличие какого-то признака у предмета.

Отрицательные понятия указывают на отсутствие признака, утверждаемого положительным понятием; формируются прибавлением к положительному понятию частицы «не».

Конкретные понятия - отражают предмет (явление, процесс) в целом: «ночь» «улица». Это любые утвердительные - общие, единичные, пустые понятия.

Абстрактные понятия в логике отражают свойство, признак предмета, и отражают его так, как будто он существует сам по себе независимо от предмета-носителя (белизна).

Соотносительные понятия в логике содержанием требуют обязательного соотношения с другими понятиями: копия, больше, хуже, между, отец, начало, причина, проблема.

Безотносительные- мыслятся сами по себе без соотнесения с другими: утвердительные, отрицательные, конкретные, абстрактные, общие, единичные, кроме соотносительных

Собирательные понятия – специфичны, содержанием отражают определенное (строгое или не строгое) количество однородных предметов как целое: созвездие, группа, взвод.

Разделительные понятия - содержанием относятся к каждому в отдельности предмету множества (группы): всякий, каждый.

7) Объективные отношения между самими предметами находят свое отражение в отношениях между понятиями. Все многообразие этих отношений также можно классифицировать на основе содержания и объема понятий.

Сравнимые и несравнимые понятия. Сравнимыми называют понятия, в содержании которых имеется хотя бы один общий признак. Почти все понятия являются сравнимыми. В данном случае опровергается известная пословица «Нельзя сравнивать Божий дар с яичницей». С точки зрения логики, это также сравнимые понятия, так как о них, по крайней мере, можно сказать, что и то, и другое – предмет. Это и будет их общий признак. Несравнимыми называют понятия, в содержании которых нет ни одного общего признака. Некоторые авторы в качестве примера несравнимых понятий приводят понятия «предмет» и «свойство». Сравнимые понятия могут быть совместимыми или несовместимыми.

Совместимые и несовместимые понятия. Понятия называются совместимыми, если их объемы имеют хотя бы один общий элемент. Несовместимые – это понятия, в объемах которых нет ни одного общего элемента. Обычно отношения между понятиями изображают с помощью так называемых кругов Эйлера (рис. 2, 3).

Виды совместимых понятий. Совместимые понятия могут быть равнозначными (тождественными), перекрещивающимися, а также подчиненным и подчиняющим.

Равнозначные (тождественные) - это понятия, объемы которых полностью совпадают (рис. 2, а).

Пример. А – понятие «автор романа «Анна Каренина»»; В – понятие «автор романа «Война и мир»».

Перекрещивающиеся - это понятия, объемы которых частично совпадают (рис. 2, б).

Пример. А – понятие «студент»; В – понятие «спортсмен».

Подчиняющее и подчиненное понятия. Объем подчиненного понятия полностью входит в объем подчиняющего, не исчерпывая его (рис. 2, в).

Пример. А – понятие «деревья»; В – понятие «береза».

Виды несовместимых понятий. Несовместимые понятия бывают соподчиненными, противоположными (контрарными) и противоречащими (контрадикторными).

Соподчиненные – это понятия, объемы которых различны и входят в объем общего для них понятия, не исчерпывая его (рис. 3, а).

Пример. А – понятие «фиалка»; В – понятие «роза»; С – понятие «цветы».

Противоположными (контрарными) понятиями являются такие, которые соподчинены третьему понятию и представляют собой крайние степени выраженности некоторого качества. Можно сказать, что их объемы занимают полярные места в объеме общего для них понятия (рис. 3, б).

Пример. А – «черный»; В – «белый»; С – «цвет».

Противоречивые (контрадикторные) понятия подчиняются общему для них понятию, и при этом в общем понятии не существует такого элемента, который не был бы элементом одного из этих понятий. Их объемы делят объем общего для них понятия на две части (рис. 3, в).

Пример. А – «монархия»; В – «республика». Общим для этих понятий является понятие «форма правления». Причем «монархия» и «республика» – несовместимые формы правления, и в то же время других форм правления не существует.

С помощью кругов Эйлера можно получать достаточно сложные схемы. Например, можно изобразить отношение между понятиями А – «студент», В – «спортсмен», С – «мастер спорта», D – «кандидат в мастера спорта» (рис. 4).

Изучение отношений между понятиями имеет огромное значение для правильного употребления понятий в устной и письменной речи. И наоборот, незнание этих отношений способно повлечь за собой искаженное отражение действительности – отношений между самими вещами.

8) Понятие – форма мышления, отражающая предметы в их общих существенных признаках.

Операции над понятиями – логические действия, вследствие которых создаются новые понятия.

К операциям с понятиями относят:

сложение, вычитание, умножение, деление.

Сложение - простейшая логическая операция с понятием, которая представляет собой объединение объемов двух или более понятий, даже если эти понятия и не пересекаются, не совпадают между собой по объему. Например: Пусть «+» обозначает операцию сложения понятий.

1. «А» и «В» - равнозначные понятия.

Тогда А+В=А=В, т.е. результат сложения таких понятий равен любому из них. Как частный случай имеем: А+А=А

«Сиеста»+«полуденный отдых»=«сиеста»=«полуденный отдых»

«Сиеста»+ «сиеста»= «сиеста»

Таким образом, сложение двух равнозначных понятий не приводит к удвоенной сумме, как это имеет место при сложении натуральных чисел т.е не обладает свойством итерации(прибавления).

Умножение, состоит в отыскании области, которая обладает одновременно свойствами как одного, так и другого понятия т.е пересечение. Например: Умножение понятий «студент» и «спортсмена» дает область студентов, являющихся в то же время спортсменами, и наоборот.

Вычитание объема одного понятия из другого даст в зависимости от видов рассматриваемых понятий усеченную область объема.

Вычитание возможно только между совместимыми, а точнее не пересекающимися и подчиненными понятиями.

Или: Вычитанием (разностью) понятия В из понятия А называется их преобразование в понятие, объем которого состоит из элементов объема А, противоречащих понятию В т.е. обладающих свойством- В

Например: Пусть «/» обозначает операцию вычитания понятия.