22 Билет. Көп айнымалы функцияның экстремумдары. Экстремумның қажетті жәнежеткілікті шарттары

функциясы жиынында анықталсын.

Егерде нүктенiң маңайы табылып, мына шарт орындалса

(1)

онда функциясының нүктеде төңiректiк минимумы (максимумы) болады дейдi.

Экстремумның қажетті шарттары. Егер дифференциалданатын функцияның нүктеде төңіректік экстремумы бар болса, онда осы нүктеде

(2)

теңдіктері орындалады. Немесе (3)

Экстремумның жеткiлiктi шарттары. стационар нүктеде функциясы екi рет үзiлiссiз дифференциалданатын болсын. Егер

(немесе ) (4)

болса, онда нүктеде функцияның қатаң төңiректiк минимумы (немесе қатаң максимумы) болады.

23 билет. Бағыт бойынша туынды

Теорема. Егер функциясы дифференциалданатын болса, онда оның кез келген λ бағыттағы туындысы бар болады және ол мынаған тең.

мұндағы сәуленің бағыттауыш косинустары, яғни

14-15.4. Функцияның градиенті

функциясының градиенті деп, проекциялары осы функцияның дербес туындылары болатын векторды айтады, яғни

Енді бағыт бойынша алынған туындыны былай жазуға болады

Бұл шама градиент пен бірлік вектордың скалярлық көбейтіндісі, олай болса

мұндағы сәуле мен -ның арасындағы бұрыш. Егер болса, градиент бағыты бойынша алынған туынды ең үлкен мәнін қабылдайды. Бұл ең үлкен мән

24 Билет. Матрица ұғымы

жолдан бағаннан тұратын, тік бұрышты сандар кестесі өлшемді матрица деп аталады да, мына жазулардың бірімен белгіленеді:

сандары матрицаның элементтері деп аталады. Егер матрицаның жолдарының саны бағандарының санына тең болса, яғни онда матрицаны -ші ретті квадрат матрица деп атайды.

Бір бағаннан тұратын матрицаны бағана-матрица немесе бағана векторы деп атайды.Бір жолдан тұратын матрицаны жол-матрица немесе жол-векторы деп атайды. Барлық элементтері нөлге тең матрицаны нөлдік матрица дейді де, әрпімен белгілейді. Бас диагоналының элементтері бірге тең, ал қалған элементтері нөлге тең квадрат матрицаны бірлік матрица деп атайды да әрпімен белгілейді. -ші ретті квадрат матрицаның анықтауышы деп

санын айтады. Квадрат емес матрицаның анықтауышы жоқ.Анықтауышы нөлге тең квадрат матрицаны өзгеше (вырожденной), ал анықтауышы нөлге тең болмаса матрицаны өзгеше емес (невырожденной) деп атайды.Сәйкес элементтері тең бірдей өлшемді екі матрицаны бір-біріне тең дейді.

2.5. Матрицаға қолданылатын амалдар

1.Матрицаларды қосу. Бірдей өлшемді екі матрицаны қосуға (алуға) болады. Екі матрицаның қосындысы (айырымы) деп элементтері осы матрицалардың сәйкес элемент-терінің қосындысына (айырымына) тең болатын жаңа матрицаны айтады.

2.Матрицаны санға көбейту. Матрицаны санға көбейту үшін оның әрбір элементін осы санға көбейту керек.

3.Матрицаларды көбейту. Екі матрицаны және -ы келісілген дейді, егер матри-цаның бағандарының саны матрицаның жолдарының санына тең болса, яғни және болса. Тек екі келісілген матрицаларды бір-бірімен көбейтуге болады. және матрицалардың көбейтіндісі деп, элементтері мына формуламен есептелінетін

жаңа матрицасын айтады.

Жалпы жағдайда матрицаларды көбейту амалы коммутативті емес, яғни

Матрицаларды қосу және көбейту амалдарының қасиеттері:

1. 2.

3.

4.

5.

4. Аударылған матрица. матрицаның жолдарын сәйкес бағандарымен ауыстырғанда алынған матрицаны аударылған матрица деп атайды, яғни

Аударылған матрицаның қасиеттері:

1. 2. 3. 4. .