19. Общее уравнение плоскости и его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Общее уравнение плоскости и его исследование.

Уравнение (1) Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C, D – числа, называется общим уравнением плоскости.

Вектор N̄ = {A,B,C} перпендикулярен плоскости (1) и называется ее нормальным вектором.

Частные случаи:

1) A ≠ 0, B = 0, C = 0, D ≠ 0, тогда уравнение (1) принимает вид Ax + D = 0, откуда x= -D / A – уравнение плоскости, параллельной плоскости Oyz.

2) A = 0, B ≠ 0, C = 0, D ≠ 0, тогда уравнение (1) принимает вид By + D = 0, откуда y= -D / B – уравнение плоскости, параллельной плоскости Oxz.

3) A = 0, B = 0, C ≠ 0, D ≠ 0, тогда уравнение (1) принимает вид Cz + D = 0, откуда z= -D / C – уравнение плоскости, параллельной плоскости Oxy.

4) A ≠ 0, B = C = D = 0, тогда уравнение (1) имеет вид Ax = 0 или x = 0 – уравнение плоскости Oyz.

5) A = 0, B ≠ 0, C = D = 0, тогда уравнение (1) имеет вид By = 0 или y = 0 – уравнение плоскости Oxz.

6) A = B = 0, C ≠ 0, D = 0, тогда уравнение (1) имеет вид Cz = 0 или z = 0 – уравнение плоскости Oxy.

7) A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, D = 0, тогда уравнение (1) имеет вид Ax + By = 0 – уравнение плоскости, проходящей через ось Oz.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы N̄₁ и N̄₂ параллельны, а значит A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂.

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

α₁║α₂ <=> A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ или A₁ = kA₂, B₁ = kB₂, C₁ = kC₂.

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, N̄₁*N̄₂ = 0 или A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

Таким образом, α₁┴α₂ <=> A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

20. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями.

Аналогично расстоянию от точки до прямой на плоскости и расстоянию между параллельными прямыми на плоскости только с 3-мя координатами.

21. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки.

Пусть прямая в пространстве будет проходить через точки M₁(x₁;y₁;z₁) и M₂(x₂;y₂;z₂).

Требуется составить уравнение прямой l, проходящей через точку M₁ и M₂.

M̄₁M̄ = {x-x₁;y-y₁;z-z₁} M̄₁M̄₂ = {x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁}.

Т.к. векторы M̄₁M̄ и M̄₁M̄₂ лежат на одной прямой, то M̄₁M̄║M̄₁M̄₂. Известно, что M̄₁M̄║M̄₁M̄₂ <=>, когда Ǝ λ ≠ 0, такое что M̄₁M̄ = λM̄₁M̄₂, откуда получаем, что x-x₁ = λ(x₂-x₁), y-y₁ = λ(y₂-y₁), z-z₁ = λ(z₂-z₁), откуда λ = x-x₁ / x₂-x₁, λ = y-y₁ / y₂-y₁, λ = z-z₁ / z₂-z₁, поэтому x-x₁ / x₂-x₁ = y-y₁ / y₂-y₁ = z-z₁ / z₂-z₁ – каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки M₁ и M₂.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через данную точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельную вектору t̄ = {a, b, c}.

Пусть прямая l проходит через точку M₀(x₀;y₀;z₀) параллельно t̄ = {a, b, c}.

Требуется составить уравнение прямой l.

t̄║l => t̄║M̄₀M̄ => Ǝ λ ≠ 0, такое что M̄₀M̄ = λ*t̄.

Т.к. M̄₀M̄ = {x-x₀;y-y₀;z-z₀}, то x-x0 = λ*a, y-y₀ = λ*b, z-z₀ = λ*c, откуда λ = x-x₀ / a, λ= y-y₀ / b, λ = z-z₀ / c, откуда x-x₀ / a = y-y₀ / b = z-z₀ / c – каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M₀ параллельную t̄.