30. Непрерывность элементарных функций. Первый и второй замечательные пределы.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .

Более подробно это расшифровывается следующим образом:

1. .

2. . Другими словами, непрерывная функция характеризуется тем свойством, что можно менять местами знак функции и знак предела.

3. Обозначим (приращение аргумента) и (приращение функции). Тогда непрерывная функция характеризуется тем свойством, что при также и , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Первый замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел , который называют Первым замечательным пределом

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ( ).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где — площадь сектора )

(из : )

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

Применение:

Из доказательства первого замечательного предела очевидно, что при малых значениях x, sin x приблизительно равен x(sin 0.1=0.099833417). Это приближение используется в при практических расчетах в физике. Напоминаем, что математика точная наука, и использование приближений, недопустимо.

Второй замечательный предел

 или 

Доказательство второго замечательного предела:

Докажем вначале теорему для случая последовательности

По формуле бинома Ньютона:

Полагая , получим:

(1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом

(2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

.

Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

.

Поэтому (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е. }}

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

Следствия

для ,

Доказательства следствий

Интересным свойством 2ого замечательного предела, является то, что он показывает банковские проценты по вкладу при неприрывной капитализация. Предположим что процент по вкладу составляет p. Тогда при капитализации раз в год мы получим S*(1+p). При капитализации раз в месяц мы получим: . При неприрывной капитазизации получим: