2. Классическое и геометрическое определение вероятности.

Геометрическое определение вероятности является расширением понятия классической вероятности на случай несчётного множества элементарных событий. В случае, когда является несчётным множеством, вероятность определяется не на элементарных событиях, а на их множествах. Пусть равновозможные элементарные события являются точками ограниченного множества -мерного Евклидова пространства , имеющего меру Лебега .Рассмотрим систему А измеримых по Лебегу подмножеств множества . Для любого случайного события вероятность определяется по формуле . Под мерой в частном случае понимается: длина отрезка (если ), площадь (если ), объём (если ). Св-тва меры Лебега: мера Лебега – это действ-ная, неотриц., счётно-аддитивная функция множеств, для которой: 1) 2) 3) если 4) , то Недостатки геометрического определения вероятности: мера пространства должна быть ограниченной; все элементарные события должны быть равновероятны. 3. Основной проблемой при решении задач с использованием формулы классической вероятности является подсчет числа способов, которыми могло пройти то или иное событие. В связи с этим такие задачи решаются как правило , методами комбинаторики. Часто используется следующее очевидное правило:если некий выбор A можно осуществить m способами, а выбор некоторый выбор B – n способами, то выбор A иB можно осуществить nm способами, а выбор A или B – m+n способами. При решении задач часто используют размещения, перестановки, сочетания. Если дано некоторое множество Ω={ω1,ω2,...,ωN}, то размещением (сочетанием) из n элементов по к называется любое упорядоченное (неупорядоченное) подмножество из к элементов множества Ω. При k=n размещение называется перестановкой из n элементов. Пусть например дано множество Ω={ω1,ω2,,ω3}. Размещениями, из трех элементов этого множества по два являются: , , , , , . Сочетания будут вида: , , . Два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Размещения отличаются друг от друга либо одним элементом, либо порядком их следования. Число сочетаний находится по формуле . Число размещений находится по формуле . Число перестановок находится по формуле . Число различных перестановок с повторениями:

3. Операции над случайными событиями. Теоремы сложения вероятностей.

Операции над событиями.

Определение. События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот.

Определение. Объединением или суммой событий Аk называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий Аk.

∪kkAA=

Определение. Пересечением или произведением событий Ak называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий Ak.

∩kkAA=

Определение. Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В.

BAC\=

Определение. Дополнительным к событию А называется событие А, означающее, что событие А не происходит.

Определение. Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

)()()(BPAPBAP+=+

Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице. nAAA,...,,21

Σ==niiAP11)(

Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

)()()()(ABPBPAPBAP−+=+

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

1)()(=+APAP

4 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 4.”