Частина 2

Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит.

21. Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з висотою 9 см й основою 6 см. Кожне з бічних ребер піраміди дорівнює 13 см. Знайти висоту піраміди.

22. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з висотою кут . Відрізок, що сполучає основу висоти з серединою бічного ребра, дорівнює а. Знайти об’єм піраміди.

23. Площа основи піраміди 72 см². Площі двох перерізів, які паралельні основі, дорівнюють 18 см² і 50 см². Знайти висоту піраміди, якщо відстань між перерізами дорівнює 8 см.

24. Сторони основи правильної зрізаної трикутної піраміди дорівнюють 2 см і 5 см, бічне ребро — 2 см. Знайти висоту піраміди.

25. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює l і нахилена до площини основи під кутом . Визначити повну поверхню піраміди.

26. У правильній піраміді площа основи становить площі повної поверхні. Знайти двогранний кут при основі піраміди.

27. Основою піраміди є правильний трикутник зі стороною а, одна з бічних граней перпендикулярна до площини основи, а дві інші утворюють із площиною основи кут γ. Визначити об’єм піраміди.

28. У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює а, а кут між суміжними бічними гранями α. Визначити апофему піраміди.

29. У правильній чотирикутній піраміді відстань від центра основи до бічної грані дорівнює m. Бічні грані нахилені до основи під кутом α. Визначити об’єм піраміди.

30. Основою піраміди є ромб зі стороною а і кутом 30°. Бічні грані, що проходять через сторони гострого кута ромба, перпендикулярні до площини основи, а дві інші — нахилені до неї під кутом 60°. Знайти об’єм піраміди.

Частина 3

Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логічні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, графіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит.

31. У правильній чотирикутній піраміді РАВСD з вершиною Р проведено переріз через сторону АВ і середину бічного ребра РС. У якому відношенні цей переріз поділяє об’єм піраміди?

32. Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною а. Одна з бічних граней є рівностороннім трикутником і перпендикулярна до площини основи. Визначити бічну поверхню піраміди.

33. У трикутній піраміді всі чотири грані — рівні рівнобедрені трикутники з основою а й бічною стороною b. Визначити об’єм піраміди.

34. Основою піраміди є прямокутник, площа якого дорівнює S. Дві бічні грані перпендикулярні до площини основи, а дві інші — нахилені до неї під кутами 30° і 60°. Визначити об’єм піраміди.

35. Із середини висоти правильної чотирикутної піраміди проведено перпендикуляр завдовжки а до бічного ребра і перпендикуляр завдовжки b до бічної грані. Знайти об’єм піраміди.

Тема 10. Циліндр Частина 1

Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку.

1. Знайти повну поверхню циліндра з радіусом 5 см і висотою 15 см.

А	Б	В	Г	Д
375π см2	100π см2	400π см2	200π см2	150π см2

2. Прямокутник зі сторонами а і b (а > b) обертається навколо більшої сторони. Визначити об’єм тіла обертання.

А	Б	В	Г	Д

3. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює l і утворює з площиною основи кут . Визначити радіус циліндра.

А	Б	В	Г	Д

4. У циліндрі паралельно його осі проведено площину на відстані 3 см від неї. Ця площина перетинає основу циліндра по хорді, яка дорівнює 8 см. Знайти радіус циліндра.

А	Б	В	Г	Д
см	5 см	см	см	см

5. Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною 10 см. Знайти площу бічної поверхні циліндра.

А	Б	В	Г	Д
100 см2	50π см2	150π см2	100π см2	200π см2

6. Діагональ розгортки бічної поверхні циліндра дорівнює d й утворює з висотою розгортки кут . Знайти радіус циліндра.

А	Б	В	Г	Д

7. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S. Визначити площу осьового перерізу.

А	Б	В	Г	Д
		S

8. Відро циліндричної форми вміщує 10 л води. Іграшкове відро має розміри в 10 разів менші. Скільки літрів води вміщує іграшкове відро?

А	Б	В	Г	Д
1 л	0,1 л	0,01 л	0,001 л	0,0001 л

9. Відрізок, який сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи, утворює з площиною основи кут . Даний відрізок розміщений на відстані d від центра нижньої основи. Визначити висоту циліндра.

А	Б	В	Г	Д

10. Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу . Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом . Визначити площу перерізу, якщо радіус циліндра дорівнює R.

А	Б	В	Г	Д

11. Діагоналі осьового перерізу циліндра утворюють при перетині кут φ. Визначити площу бічної поверхні циліндра, якщо площа його основи дорівнює S.

А	Б	В	Г	Д

12. Радіус основи циліндра R. Площина перетинає бічну поверхню циліндра, але не перетинає основи й утворює кут  з площиною основи. Знайти площу перерізу циліндра цією площиною.

А	Б	В	Г	Д

13. Осьовий переріз циліндра — квадрат АВСD зі стороною 2а. Визначити найкоротшу відстань між точками А і С по поверхні циліндра.

А	Б	В	Г	Д
			a

14. Через твірну циліндра проведено два взаємно перпендикулярні перерізи циліндра, площі яких дорівнюють 60 см² і 80 см². Знайти площу осьового перерізу.

А	Б	В	Г	Д
70 см2	80 см2	90 см2	100 см2	200 см2

15. У куб, ребро якого дорівнює а, вписано циліндр. Визначити повну поверхню циліндра.

А	Б	В	Г	Д

16. У циліндр вписано куб, об’єм якого дорівнює 8 см³. Знайти об’єм циліндра.

А	Б	В	Г	Д
2 см3	4 см3	см3	8 см3	см3

17. Знайти радіус циліндра, описаного навколо прямокутного паралелепіпеда зі сторонами основи 9 см та 12 см і висотою 8 см.

А	Б	В	Г	Д
7,5 см	15 см	34 см	8,5 см	17 см

18. Об’єм правильної трикутної призми дорівнює V. Визначити об’єм циліндра, вписаного в призму.

А	Б	В	Г	Д

19. У циліндр вписано правильну трикутну призму, а у призму — циліндр. Знайти відношення об’ємів циліндрів.

А	Б	В	Г	Д
1 : 8	1 : 4	1 : 2	3 : 4	3 : 8

20. Дано циліндр з радіусом 2 і висотою 0,5. S(х) — площа перерізу циліндра площиною, паралельною його осі, де х — відстань від осі циліндра до площини перерізу. Який з наведених графіків є графіком функції S(х)?

А	Б	В	Г	Д