53. Точки разрыва монотонной функции.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Пусть дана функция Тогда: 1) функция f называется возраста́ющей на M, если . 2) функция f называется стро́го возраста́ющей на M, если . 3) функция f называется убыва́ющей на M, если . 4)функция f называется стро́го убыва́ющей на M, если . (Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной. Точки разрыва: Если попытаться построить отрицание свойства непрерывности функции в точке (предельной для области определения, то получится следующее: . Возможны два варианта: 1) либо предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке: тогда точка a называется точкой устранимого разрыва функции f. 2) либо предела функции в данной точке не существует и тогда . если оба односторонних предела существуют и, хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют то́чкой разры́ва пе́рвого ро́да; если хотя бы один из односторонних пределов не существует, то такую точку называют то́чкой разры́ва второ́го ро́да. 1замечательный предел. , где P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+a_n,  Q(x) = b₀x^m + b₁x_m-1 +…+b_m - многочлены. _; 2замечательный предел. _; 3замечательный предел.

54. Вычисление предела.

Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к A.

Алгоритм решения: 1)Подставить в выражение предельное значение аргумента; 2)Определить есть или нет неопределенность. Если нет, дать ответ. 3)Если неопределенность есть, то по ее виду выбрать одно из правил устранения этой неопределенности. 4)Преобразовать выражение согласно выбранному правилу, и к новой форме предела применить данный алгоритм, начиная с п.1. Правило 1. В числителе и знаменателе вынести x в максимальной степени, если это возможно. Заметим, что , а , где c - любое число. Правило 2. Числитель и знаменатель разделить одновременно на , если это возможно. Необходимо иметь в виду, что , а , где c - число, отличное от нуля. Правило 3. При вычислении пределов от иррациональных выражений, не попадающих в предыдущие правила, следует избавиться от корней, входящих в неопределенность. Возможны следующие способы: 3.1. замена переменной , позволяющая извлечь корни, входящие в неопределенность; 3.2. дополнение до формулы, позволяющей возвести корень в соответствующую ему степень; здесь используются формулы:  ; . Правило 4. При наличии неопределенности в пределе от выражения, содержащего тригонометрические функции, следует выделить в этом выражении первый замечательный предел: 1) ; 2)  ;3)  ;4)  ;5)  

Правило 5. Вычисление предела сложнопоказательной функции. .Если рассматриваемый предел содержит неопределенность , то он сводится ко второму замечательному пределу: 1) 2) . Правило 6. Предел сложной функции: . В частности, , если . Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа: 1)(∞, -∞); 2)(∞º); 3)(0*∞); 4) ; 5) ; 6) ; 7) . по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют. Для раскрытия неопределённостей видов , , пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.