55. Сравнение функций.

Сравнение функций : 1) при если  2)  при если существуют интеграл содержащий точку a, и постоянная M, такие, что . 3) Локально эквивалентные функции: при если . Некоторые эквивалентности (при ): Формула Стирлинга: при Эквивалентные функции: Функции и называются эквивалентными в точке (или при ) , если они определены в окрестности точки , отличны в ней от нуля и Свойства: 1) ~,  _; 2)Если  ~  и  ~ ,то ~,  _; 3) Если  ~ , то  ~ ,  _;  4) Если  ~ ₁ и  ~ ₁ и , то и  или .Следствие:  а) если  ~ ₁ и , то и _; б) если  ~ ₁ и , то

56. Свойства непрерывных функций.

Непрерывная функция — это числовая функция (отображение), которая обладает следующим свойством: при приближении (стремлении) аргумента к заданному значению, значение функции приближается (стремится) к значению функции в данной точке. Основные свойства непрерывных функций: Функция f: [a, b] → R называется непрерывной на сегменте [a, b], если она непрерывна на интервале ]a, b[ и в точке a непрерывна справа, а в точке b - слева. Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], тогда: 1) она ограничена на этом сегменте; 2) если , то на сегменте [a, b] существуют точки x₁ и x₂ такие, что f(x₁) = m, f(x₂) = M (теорема Вейерштрасса); 3) она принимает на каждом сегменте , все промежуточные значения между f(α) и f(β) (теорема Коши). В частности, если f(α)f(β) < 0, то найдется такое значение γ (α < γ < β), то f(γ) = 0. Функция f: ]a, b[ → R называется кусочно-непрерывной на интервале ]a, b[, если она непрерывна во всех точках этого интервала, кроме конечного числа точек разрыва первого рода и конечного числа точек устранимого разрыва.

57. Понятие производной.

Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.

Производные некоторых элементарных функций. Найдем производные некоторых уже известных нам элементарных функций. а) Тригонометрические функции.

; По свойству предела произведения ; Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что . Производные tg и ctg можно найти как производные частного:   . б) Обратные тригонометрические функции. Рассмотрим функцию y  = arcsin  x . На отрезке обратной к ней функцией будет x  = sin  y . Продифференцируем эту функцию по x , считая y функцией от x : или  (на указанном отрезке). Аналогично выводятся формулы и для других обратных функций. Получаем:  ; ;   . в) Степенная и показательная функции. Рассмотрим функцию y  =  a ^x . Для нее . Но  если a  > 0,  a  ≠ 1, то . В частности, экспоненциальная функция вводится как функция, определенная на всей числовой оси, для которой f'  ( x ) =  f  ( x ) и f  (0) = 1.

  Но  . если a  > 0,  a  ≠ 1, то

В частности, . При x  > 0 для любого    Таким образом,

58. Односторонние производные. Односторонний предел: Правосторонний предел называется правосторо́нней произво́дной или произво́дной спра́ва и обозначается символами Аналогично, левосторонний предел называется левосторо́нней произво́дной или произво́дной сле́ва и обозначается символами Бесконечный предел: Пусть дана функция Тогда существует конечная производная f'(x₀) тогда и только тогда, когда существуют конечные и равные односторонние производные f' ₊ (x₀) = f' ₋ (x₀). Пусть  определена в интервале ,  Дадим приращение так, чтобы точка Если существует конечный (или бесконечный) = , то он называется конечной (или бесконечной) производной функции  в точке и обозначается символами ; , т.е.           

Правила дифференцирования: 1)При дифференцировании константу можно выносить за производную: ; 2)Правило дифференцирования суммы функций: ; 3)Правило дифференцирования разности функций: ; 4)Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница): ; 5)Правило дифференцирования частного функций: ; 6)Правило дифференцирования функции в степени другой функции: ; 7)Правило дифференцирования сложной функции: ; 8)Правило логарифма при дифференцировании функции: .

59. Производная сложной функции.

Производная сложной функции: Производная сложной функции:Пусть y = f(u) и u = (x). Тогда функция y = f((x)) называется сложной функ­цией от х.Теорема 1. Если функция u=(x) имеет производную u'_x в точке х, а функ­ция y = f(u) имеет производную у'_u в соответствующей точке u, то сложная функция y = f((x)) в точке х имеет производную у'_x, причем у'_x = у'_u u'_x. Доказательство. Дадим х приращение Δх. Тогда u и у получат соответст­венно приращения Δu и Δу. Будем считать, что Δu при Δх0 не принимает зна­чений, равных нулю. Тогда . Так как функция u = (x) дифференцируема, а следовательно, непрерывна, то Δu0 при Δх0. Поэтому . Тогда . Это означает, что у'_x = у'_u u'_x.

Производная обратной функции:

Производная обратной функции: Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некото­ром интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), ≠0. Тогда в соответствующей точке х обратная функция у = f^--1(x) имеет производную [f^--1(x)]', причем Доказательство. По условию теоремы функция x = f(y) монотонна и дифференци­руема, следовательно, по теореме о существовании обратной функции функция у = f^--1(x) существует, монотонна и непрерывна на соответствующем интервале. Дадим аргументу х приращение Δх0. Тогда функция у = f^--1(x) получит приращение Δу, которое в силу ее монотонности отлично от нуля. Так как функция у = f^--1(x) непрерывна, то Δу0 при Δх0. Тогда .Пользуясь доказанной теоремой, вычислим производные обратных триго­нометрических функций. Для функции у = arcsinx обратной является функция x = siny, которая является в интервале  монотонной и дифференцируе­мой. Ее производная x' = cosy в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому . Таким образом .Аналогично получаются формулы:

60. Дифференциал функции. Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х)•∆х. 

Дифференциал – линейная часть приращения функции. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на отрезке [a,b]. Производная этой функции в некоторой точке x отрезка [a,b] определяется равенством . Отношение стремится к определенному числу f (x) и, следовательно, отличается от производной f (x) на величину бесконечно малую: , где a  0 при x 0. Умножение всех членов последнего равенства на x дает y = f(x) x + ax. Произведение f (x)x называют дифференциалом функции и обозначают через dy или df(x): dy = f (x)x Можно найти дифференциал функции y = x. В этом случае y = (x) = 1 и, следовательно, Dy = dx = x. Таким образом, дифференциал dx независимой переменной x совпадает с ее приращением x. Инвариантность формул дифференциала. Пусть функция u = u(x) дифференцируема в точке x₀, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u₀ = u(x₀), тогда сложная функция y = f(u(x)) дифференцируема в точке x₀, причем df(u(x))=f'(u₀)u'(x_0)dx. Так как u ^'(x₀)dx = du, то df(u(x))=f'(u₀)du. Последняя формула показывает, что дифференциал функции записывается формулой одного и того же вида как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции. Это свойство первого дифференциала называют инвариантностью (неизменностью).

61. Функции, заданные параметрически и их дифференцирование. Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.Найдем производную у'_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'_х=y'_t•t'_x. С учетом равенства (21.2) получаем Полученная формула позволяет находить производную у'_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

62. Теоремы. Теорема Ферма: Теорема утверждает, что:Для любого натурального числа n > 2 уравнение не имеет натуральных решений a, b и c. Если а точка внутреннего локального экстремума для функции и – дифференцируема в точке а .Доказательство: Пусть a- точка внутреннего локального экстремума, значит по определению  такая что  имеет постоянный знак (неотрицательна для точки минимума и неположительна  для точки максимума). меняет знак в нашей окрестности (положительна в правой части, отрицательна в левой) и тем самым -меняет знак. От противного: допустим . Тогда либо >0 либо <0. И значит по теореме об устойчивости строгого неравенства, для дроби строгое неравенство сохранится, то есть либо она вся лежит в окрестности >0 либо <0, но она меняет знак  противоречие. Теорема Роля: Пусть f непрерывна на отрезке [ab], дифференцируема на интервале (ab) и на концах отрезка принимает одной и тоже значение f(a)=f(b) тогда . Доказательство: Поскольку  непрерывна на отрезке , то по теореме Вейштрасса она принимает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значение. 1) Если наименьшее значение равно наибольшему, то функция постоянна и значит производная везде равна нулю. 2) Пусть теперь наибольший элемент не равен наименьшему. И пусть  и  точки, в которых эти значения принимаются. Тогда обе эти точки в конец отрезка попасть не могут т.к f(a)=f(b) , а они разные.  хотя бы одна из этих точек попадет на интервал, но тогда она лежит в нем вместе с некоторой окрестностью является точкой внутреннего локального экстремума. По теореме Ферма, производная в этой точке равна0. Теорема Коши́: Пусть даны две функции f(x) и g(x) такие, что: 1) f(x)и g(x) определены и непрерывны на отрезке[ab]; 2) производные f '(x) и g '(x) конечны на интервале (ab); 3) производные f '(x) и g '(x) не обращаются в нуль одновременно на интервале (ab); 4) ; тогда , где

63. Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет на отрезке [a,b] непрерывные производные до n-1 - го порядка, а в интервале (a,b) - существует n - ая производная функции f (x), тогда для любых x₀ и x из [a,b] существует такая точка ξ, лежащая между точками х₀ и х, что

называется многочленом Тейлора степени n-1 для функции f(x) в окрестности точки x₀.Выражение R_n(ξ,x) называют остаточным членом формулы Тейлора.

64. Условие монотонности и постоянства функции.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Условия монотонности функции: 1)(Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда 2) (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда если то f строго возрастает на (a,b); если то f строго убывает на (a,b). 3)(Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производная f'(x). Тогда f строго возрастает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: 1) 2)

Аналогично, f строго убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: 1) 2)

Условие постоянства: Пусть функция y=f (x) имеет производную в каждой точке интервала (аб). Для того чтобы эта функция была постоянна на интервале (аб), необходимо и достаточно выполнить условие f(x)=0 для любого х Є (а.б). Док-во: Необходимость: если f(х) постоянна на (аб) то f '(х)=0 для любого х Є (аб). Достаточность: Пусть f(х) для любого х Є (а.б). х1 Є (аб); х2 Є (аб). Х2≠х1.

65. Экстремумы функции. Экстре́мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум). Необходимые условия существования локальных экстремумов. Лемма Ферма. Пусть функция дифференцируема в точке локального экстремума x₀. Тогда: f'(x₀) = 0. Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю. Достаточные условия существования локальных экстремумов: 1)Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии x₀ является точкой строгого локального максимума. А если то x₀ является точкой строгого локального минимума. Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x_0. 2)Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x₀. Тогда при условии и x₀ является точкой локального максимума. А если и то x₀ является точкой локального минимума.

66. Правило Лопиталя. Правило Лопита́ля - метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных. Правило Лопиталя. Пусть при x a для f(x) и g(x), дифференцируемых в некоторой окрестности точки a, выполняются условия: 1. либо f(x) 0, g(x) 0, либо f(x) , g(x) ; 2. существует предел limx af (x)g (x). Т огда limx af(x)g(x)=limx af (x)g (x). Это правило позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятся либо к нулю, либо к бесконечности, т.е. когда функции f и g одновременно являются либо бесконечными большими, либо бесконечно малыми в точке a . Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределенностей типа: 00 или . Неопределенности вида 0 · ∞, ∞ – ∞, 0 ⁰, ∞ ⁰, 1 ^∞ часто удается свести к неопределенностям вида 00 или с помощью различных тождественных преобразований. После этого можно применять правило Лопиталя. Рассмотрим некоторые из возможных преобразований указанных неопределенностей. 1. − : пусть f(x) , g(x) , тогда данная неопределённость приводится к типу 00 следующим преобразованием: f(x)−g(x)=1f(x) g(x)1g(x)−1f(x), 2. 0: пусть f(x) , g(x) 0, тогда данная неопределенность приводится к типу: 00 или с помощью преобразований: f(x) g(x)=1g(x)f(x)=1f(x)g(x). Остальные неопределенности приводятся к первым двум с помощью логарифмического преобразования: logaf(x)g(x)=g(x) logaf(x). Если после применения правила Лопиталя неопределенность типа : 00 или осталась, нужно применить его повторно. Многократное применение правила Лопиталя может привести к требуемому результату. Правило Лопиталя применимо и в случае, если x a.

67. Выпуклость и вогнутость прямой. ВЫПУКЛАЯ прямая- часть плоскости, обладающая тем свойством, что соединяющий две ее любые точки отрезок содержится в ней целиком. Любая связная часть границы выпуклой области называется выпуклой кривой (таковы, напр., окружность и ее любая дуга, треугольник).ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ- свойства графика функции y = f(x) (кривой), заключающиеся в том, что каждая дуга кривой не выше (выпуклость книзу, или вогнутость кверху) или не ниже (вогнутость книзу, или выпуклость кверху) стягивающей ее хорды.График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. Точка перегиба функции внутренняя точка x0 области определения f, такая что f непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и x0 является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой выпуклости вниз. Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x0, имеет в x0 точку перегиба, то . Достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и , и при , а , то функция f(x) имеет в x0 точку перегиба.

68. Асимптоты. асимптота (несовпадающий) кривой с бесконечной ветвью, прямая, к которой эта ветвь неограниченно приближается. Например, у гиперболы у = 1/х (рис. 1) асимптотами являются оси координат Ox и Оу. Кривая может пересекать свою А. (например, график затухающих колебаний, рис. 2). Кривые с бесконечными ветвями могут не иметь А. (например, у параболы нет. А.). Понятие А. играет важную роль в математическом анализе. Так, если график функции y = f(x) имеет А., определяемую уравнением у = ах + b, то эта функция может быть представлена в виде f(x) = ax + b + a(x), где a(х) 1.) Нахождение вертикальных асимптот. 2.) Нахождение двух пределов 3.) Нахождение двух пределов : если k=0в п. 2.), то , и предел ищется по формуле горизонтальной асимптоты, .

Пусть дана функция f(x). Для её исследования нужно: 1). Найти её область определения D(x). Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений E(f). (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения E(f) откладывается до нахождения экстремумов функции.) 2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси ), не является ли она периодической. 3)Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения D(f), если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.