Сызбалар, есептер, ситуациялар

Жиын ұғымы математиканың алғашқы ұғымдары қатарына жатады.

Жиын деп обектілердің (заттардың) біріңғай тұтас болып қарастыратын кез келген жиынтығы аталады. «Жиын» сөзі математикалық термин: ол күнделікті кездесіп жүрген жинақ, коллекция, жиынтық, әулет және т.с. сөздердің жалпылама баламасы ретінде қолданылады.

Жиындар шектеулі және шектеусіз жиын болып бөлінеді. Мысалы, цифрлар жиыны A – шектеулі жиын, оған 10 элемент енеді. A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} жиынының элементтер санын көрсетіп жазсақ: n(A)=10. Ал натурал сандар жиыны N - шектеусіз жиын.

Жиындарға қолданылатын амалдар.

Жиындардың бірігуі. А және В жиындарының бірігуі деп олардың ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден тұратын жиынды айтады.

А мен В жиындарының бірігуі AUB өрнегімен белгіленеді. Яғни, А UВх, хАUхВ

Мысал. А={2, 4, 6, 8}, В={5, 6, 7, 9} болсын, онда АUВ={2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} болады.

Жиындарының қиылысуы. А мен В жиындарының қиылысуы деп А жиынына да, В жиынынада тиісті элементтерден тұратын С жиынын айтады.

А мен В жиындарының қиылысуы C=A∩B өрнегімен белгіленеді.

Анықтама бойынша: А∩В=х, хА∩хВ. Мысал. А={1, 2, 3, …+∞},

В={-∞, . . ., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} болсын, онда А∩В={1, 2, 3, 4}.

Жиындардың ортақ элементтері болмауы да мүмкін. Онда олардың қиылысуы құр жиын болады. Бұл жағдайда жиындарды қиылыспайды деп айтады.

Мысал. Егер А={1, 3, 5, 7, 9}, В={2, 4, 6, 8} болса, онда А∩В= Ø.

Себебі, А және В жиындарының екеуіне де тиісті болатын ортақ элемент жоқ.

Жиындардың қиылысуы шексіз жиын болуы да мүмкін.

Мысал. 12 санының еселіктерінің А жиыны шексіз жиын:

А={12, 24, 36, 48, 60,…, 12 n, ...}.

Сондай-ақ 16 санының еселіктерінің В жиыны да шексіз жиын:

В={16, 32, 48, 64, …, 16m, ...}.

Бұл жиындардың қиылысуы да А∩В={48, 96, 144, …} шексіз жиын болады.

Жиындардың айырымы. А және В жиындарының айырмасы деп А жиынының В жиынына тиісті емес элементтерінен құралған жиынды айтады.

А мен В жиындарының айырмасы былай белгіленеді: А\В.

А\В жиынын табу үшін В жиынына тиісті емес, А жиынына тиісті

элементтерді тізіп шығу керек.

Олай болса, А\ВххА∩хВ. Сол сияқты, В\ АххВ∩хА

Мысал. а) А={1, 2, 3, 4}, В={1, 2} болсын, онда А\В={3, 4}.

б) А={1, 2, 3, 5, 7, 8}, В={1, 2, 5, 8}, онда А\В={3, 7}.

в) А={1, 2, 5}, В={3, 4}, онда А\В={1, 2, 5}.

г) А={1, 2}, В={1, 2, 3}, онда А\В= Ø.

Төменде берілген жаттығуды талдау.

1 жаттығу. Екі жиын берілген: X={1,2,3,4,5}, Y={1,5,7}. Жиындардың бірігуін, қиылысуын, айырымын есептеу керек.

Шешімі:

Бірігу: X U Y={1,2,3,4,5,7}

Қиылысу: X∩Y={1,5}

Айырым: X\Y={2,3,4}, Y\X={7}

2 жаттығу. А={1, 2, 3}, В={1, 5, 8} болсын.

АВ=1,1, 1,5, 1,8, 2,1, 2,5, 2,8, 3,1, 3,5, 3,8

ВА=1,1, 1,2, 1,3, 5,1, 5,2, 5,3, 8,1, 8,2, 8,3.

Бұдан А*В және В*А жиындарының әртүрлі элементтерден тұратынын көреміз, яғни А*В В*А.

3 жаттығу. А={2, 3}, В={3, 4, 5}, С={7, 8} болсын.

А В С көбейтіндісін табу керек.

А В С=2,3,7, 2,3,8, 2,4,7, 2,4,8, 2,5,7, 2,5,8, 3,3,7, 3,3,8, 3,4,7, 3,4,8, 3,5,7, 3,5,8

А және В жиындарының декарттық көбейтіндісін тік бұрышты координаттар жүйесінде көрсетуге болады.

Есептеуіш техникасының түйіндерінің функционалды негізіне логикалық элементер жатады. Мұнда өңделетін ақпарат екілік сан түрінде кодталады.

Бульдік алгебрада логикалық 1 (ақиқат, true) және логикалық 0 (жалған, false) мәндерін қабылдай алатын логикалық айнымалылар мен функцияларды есептейді.

Логикалық функциялар үш базаға бөлінеді және осы базаларға сәйкес төмендегідей операциялар анықталған: коньюнкция (логикалық көбейту); дизьюнкция (логикалық қосу); инверсия (логикалық терістеу).

Бульдік функциялар сөйлем, кестелік, алгебралық немесе садық әдістермен берілуі мүмкін.

Бульдік алгебраның негізгі немесе базалық операциялары болып төрт негізгі амалдар қолданылды: ЖӘНЕ (қиылысу (AND)) операциясы Коньюнкция (conjunctio - логикалық көбейту, біріктіруші) {*,∩}, А ∩В конъюнкциясы үшін ақиқаттық кестесі:

А	В	А ∩В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Анықтама. А мен В айтылымдарының екеуі де ақиқат болғанда ғана ақиқат болатын күрделі айтылымды осы айтылымдардың конъюнкциясы деп атайды.

НЕМЕСЕ (біріктіру (OR)) операциясы Дизьюнкция (disjunctio – логикалық қосу) {+,U}, АUВ Логикалық операцияларды қолдана отырып келесі пікірлерді құруға болады:

А	В	АUВ
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Анықтама. А мен В айтылымдары жалған болғанда ғана жалған болатын күрделі айтылымды А және В айтылымдарының дизъюнкциясы деп атайды.

НЕ (терістеу(NOT)) операциясы Инверция (импликациясы (тығыз байланысты)) ТЕРІСТЕУ{¯,¬,→}белгісімен белгіленеді. А → В

А	В	А →В
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Анықтама. А ақиқат, В жалған болғанда ғана жалған, қалған жағдайдың бәрінде ақиқат болатын күрделі айтылымды А мен В айтылымдарының импликациясы деп атайды.

Анықтама. А мен В айтылымдарының екеуі бірдей ақиқат немесе екеуі бірдей жалған болғанда ғана ақиқат болатын күрделі айтылымды айтылымдардың эквиваленциясы деп атайды. А↔В

А	В	А↔В
1	1	1
1	0	0
1	0	0
0	0	1

4 жаттығу. Формулаға сәйкес ақиқаттық кестесін құру:F(x,y,z) = [

x	y	z					[ ]
1	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	1	1
1	0	1	0	1	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1	1	0
0	1	0	1	1	1	1	0
0	0	1	1	1	0	0	0
0	0	0	1	1	0	0	0

5 жаттығу.

. A B C F 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0

Өз бетімен орындауға арналған тапсырмалар