Степенева функція, властивості та її графік.

Означення: функція виду , де х – незалежна змінна, а називається степеневою функцією.

Властивості функції

( – натуральний показник)

1. Область визначення

,

2. Область значень

3. 

4. 

---

5. Парна так ні

Непарна ні так

6. Монотонність

зростає

спадає ------

7. Найбільше та найменше немає

значення немає

Г Р А Ф І К И

непарне натуральне число:

- непарне від’ємне число

- парне від’ємне число

- неціле додатне число

7. Методика введення показникової функції

а) Методичні особливості вивчення показникової функції

На її вивчення відводиться 20 год (8 год резерв), які можна спланувати по різному. Один з можливих варіантів :

1. На вивчення теоретичного матеріалу – 4 год. Його можна провести у вигляді уроків-лекцій.

2. На закріплення знань, формування вмінь та навичок –14 год. Тут можна використати уроки різних видів:

- уроки розв’язування типових (ключових) завдань;

- уроки-практикуми;

- уроки – семінари та інші нетрадиційні уроки;

3. Для тематичного контролю і корекції знань – 2 год.

Основна мета вивчення теми:

- ввести означення показникової та степеневої функції;

- розглянути їх графіки і властивості;

- розглянути показникових та степеневих рівнянь і нерівностей (та їх системи).

В результаті вивчення теми учень повинен знати :

- означення показникової та степеневої функції;

- основні показникові та степеневі властивості;

- означення показникових та степеневих рівнянь.

В м і т и:

- будувати ескізи, графіки показникових та степеневих функцій і “читати” за графіками властивості функцій;

- спрощувати показникові та степеневі вирази;

- розв’язувати показникові рівняння та нерівності.

Для вивчення теми можуть бути обрані:

пояснювально-ілюстративний, репродуктивні методи, у деяких випадках метод проблемного вивчення матеріалу (наприклад, під час побудови графіків функцій ; ). Методи наукового пізнання: аналіз; синтез ; аналогія; порівняння; спостереження узагальнення. У класах з поглибленим вивченням математики: дослідницький, частково-пошуковий, самостійні роботи, роботи з підручником, творчі самостійні роботи.

Під час вивчення “Показникової та степеневої функції” доцільно поєднати аналітичний та графічний методи, подбати, щоб учні добре усвідомили взаємозв’язок між прямою та оберненою функціями. Тоді на основі властивостей показникової функції можна вивчити властивості логарифмічної. Такий підхід заощадить час і сприятиме кращому усвідомленню властивостей двох взаємно обернених функцій. Відповідно до цього доцільно розглядати матеріал теми у такій послідовності:

1. Поняття про степінь з ірраціональним показником.

2. Означення та властивості показникової функції.

3. Показникові рівняння і нерівності.

4. Поняття про логарифми.

5. Логарифмічна функція, як обернена до показникової.

6. Логарифмічні рівняння та нерівності.

До засобів навчання можна віднести перш за все:

- систему вправ, запитань, задач.

Ця система вправ і задач може виступати як засіб навчання і як метод навчання.

Наприклад: чи можна побудувати графік функцій маючи графік функції і т.д.

- таблиці з графіками, кольорова крейда, кадескоп, ще краще комп’ютер, калькулятор для обчислення степенів з раціональним показником виду , , ;

-дидактичний роздатковий матеріал, різних рівнів складності.

Під час вивчення теми можна використати різні форми навчальної діяльності учнів, а саме: фронтальну, групову, парну, індивідуальну. Таким чином, вчитель враховуючи зміст навчального матеріалу, математичну підготовку учнів, та свої особисті якості повинен вибрати найбільш раціональні методи, форми та засоби навчання, щоб забезпечити виконання мети навчання.

б) Мотивація вивчення показникової функції

Сьогодні багато говорять про інформаційний багажник. Стверджують, що кількість інформації подвоюється кожні десять років, зобразимо це у вигляді графіка деякої функції. Візьмемо обсяг інформації у деякий початковий рік за 1. Удвічі більший відрізок поставимо над одиничною оцінкою, вважаючи, що оцінка відповнюється першому десятку років. Удвічі більший відрізок відповідає другому десятку років і т.д.

Обрані нами значення аргументу є елементами арифметичної прогресії 1, 2, 3, . . . .А значення функції зростають за законом геометричної прогресії 2, 4, 8, . . . Побудуємо графік функції.

Перед нами графік показникової функції. Головна особливість цієї функції – крутизна. Показникові функція зустрічається в описі процесів, у яких швидкість зміни величини пропорційна до самої величини. За таким правилом розмножується все живе. За законом експоненціального зростання збільшується колонія мікробів у чашці Петрі. За таким законом плодилися кролі, які за короткий термін заполонили Австралію. Прикладом показникового спадання є хід хімічної реакції. Швидкість хімічної реакції пропорційна до кількості речовин, що реагують. Швидкість радіоактивного розпаду пропорційна до кількості атомів, що не розпалися.

Задача

У деякій культурі через два дні утворюється 370000 бактерій, через 5 днів – 5310100. Скільки їх було спочатку, через 1 день, через 3 дні.

370 000 =

5 310 000 =