Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело вращающееся около неподвижной оси Z, проходящей через него. Разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m₁, m₂, … m_n, находящимися на расстоянии r₁, r₂, … r_n от оси вращения.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами m_i описывают окружности различных радиусов r_i и имеют разли­ч­ные линейные скорости v_i.

Угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

где J – момент инерции тела относительно оси вращения Z.

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

В случае плоского движения тела, например, цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m – масса катящегося тела;

v_C – скорость центра масс тела;

J_C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс;

 – угловая скорость тела.

Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F:

Модуль момента силы

где  - угол между r и F;

d=r sin  - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О – плечо силы.

Вектор М перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора r и F, и направлен в ту сторону, в которую будет двигаться винт с правой нарезкой, если его головку вращать в том же направлении, в каком необходимо поворачивать вектор r для совпадения с вектором F по кратчайшему пути.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется проекция на эту ось вектора М момента силы отно­сительно произвольной точки О на данной оси Z.

Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть си­ла F приложена в точке В, находящейся от оси Z на расстоянии r, и  - угол между направлением силы и радиусом-вектором r. При повороте тела на бесконечно малый угол d точка В проходит путь

dS = r d и работа

dA = F_SdS

Т ак как момент силы относительно оси Z, то можно записать:

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

но

поэтому

Учитывая, что получаем:

Это уравнение представляет собой уравнение динамики вращательного дви­жения твердого тела относительно неподвижной оси: произведение момента инерции твер­дого тела относительно неподвижной оси на угловое ускорение равно моменту внешних сил относительно той же оси.

В любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые при вращении тела не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на них внешних сил. Они называются главными осями инерции.

Если ось Z совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

где J – главный момент инерции тела.

Лекция 6

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением

где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А, p = mv – импульс материальной точки.

Модуль вектора момента импульса

где  - угол между векторами r и p, d – плечо вектора р относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина L_Z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относите­льно произвольной точки О данной оси.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Используя формулу:

получим:

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость

.

Продифференцируем это уравнение по времени:

Производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. В векторном виде уравнение имеет вид:

В замкнутой системе момент внешних сил:

откуда

Данное выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Лекция 7

        Рассмотpим, как пpеобpазуются кооpдинаты и вpемя события пpи пеpеходе от одной ИСО к дpугой. Рассмотpим две ИСО: К и К ' , у котоpых кооpдинатные оси х и х' напpавлены вдоль их относительной скоpости v, а оси y, y' и z,z' соответственно паpаллельны. Пусть в момент t = 0 начала кооpдинат систем совпадали. На pис. 5.7 изобpажены такие системы.         Если бы одновpеменность событий была абсолютной и никаких pелятивистских эффектов не было, то пpеобpазования кооpдинат и вpемени некотоpого события М имели бы вид:                                                                                                                         (5.12)         Эти пpеобpазования имеют место в классической физике и называются пpеобpазованиями Галилея. Второй закон Ньютона можно использовать в неинерциальных системах отчета, если учесть силы инерции. Силы инерции F_ин должны быть такими, чтобы вместе с силами F, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение a', каким оно обладает в неинерциальной системе отчета, то есть:

ma' = F + F_ин.

При поступательном движении системы отчета с ускорением а₀

F_ин = -ma₀.

Во вращающейся с угловой скоростью ω системе отcчета на покоящееся тело действует сила инерции, называемая центробежной силой инерции:

F_ц = -mω²R.

Во вращающейся с угловой скоростью ω системе отcчета на движущееся тело со скоростью v' действует сила Кориолиса:

F_k = 2m [v',ω].

Лекция 8