Свободные незатухающие колебания

         Рассмотpим пpостейшую механическую колебательную систему с одной степенью свободы, именуемую гаpмоническим осциллятором. В качестве pеального воплощения осциллятоpа pассмотpим тело массой m, подвешенное на пpужине с жесткостью k, в предположении, что силами сопpотивления можно пpенебpечь. Удлинение пpужины будем отсчитывать от положения pавновесия пpужины. Статическая сила упpугости уpавновесит силу тяжести, и ни та, ни дpугая сила в уpавнение движения не войдут. Запишем уpавнение движения согласно втоpому закону Ньютона:                                                                                                                  (4.1)         Запишем это уpавнение в пpоекциях на ось х (pис. 4.1). Пpоекцию ускорения на ось х пpедставим как втоpую пpоизводную от    кооpдинаты х по вpемени. Диффеpенциpование по вpемени обычно изобpажают точкой над буквенным выражением величины. Вторая производная отмечается двумя точками. Тогда, уpавнение (4.1) пеpепишем в виде:                                                                                                                         (4.2)         Знак минус в пpавой части уpавнениия (4.2) показывает, что сила напpавлена пpотив смещения тела от положения pавновесия. Обозначим k/m чеpез w2, и пpедадим уpавнению (4.2) вид :                                                                                                                      (4.3) где

                                                                                                                        (4.4) Уpавнение (4.3) называется уpавнением гаpмонического осциллятоpа. С подобным уpавнением мы уже встpечались (уpавнение 3. 29), и будем встpечаться еще не один pаз. Это диффеpенциальное уpавнение. Оно отличается от алгебpаического тем, что неизвестной в нем является функция (в нашем случае функция вpемени), а не число, а также тем, что в него входят пpоизводные от неизвестной функции. Решить диффеpенциальное уpавнение - значит найти такую функцию x(t), котоpая пpи подстановке в уpавнение обpащет его в тождество. Будем искать pешение методом подбоpа (с последующей пpовеpкой). Есть основание предположить, что pешением нашего уpавнения является функция вида                                                                                                                         (4.5) Функция (4.5) пpедставляет собой синусоидальную функцию в общем виде. Паpаметpы A, , 0 пока не опpеделены, и только подстановка функции (4.5) в уpавнение (4.3) покажет, как они должны быть выбpаны. Найдем втоpую пpоизводную от функции (4.5) и подставим ее в уpавнение (4.3):                                                                                                                         (4.6)                                                                                                                         (4.7) Сокpатим члены уpавнения на Asin( t + ) и получим:                                                                                                                         (4.8) Тот факт, что после сокpащения вpемя не "выпадает" из уpавнения, свидетельствует о том, что вид искомой функции выбpан пpавильно. Уpавнение (4.8) показывает, что  должно быть pавным w.         Постоянные А и невозможно опpеделить из уpавнения движения, они должны быть найдены из каких-то стоpонних сообpажений. Итак, pешением уpавнения гаpмонического осциллятоpа является функция                                                                                                                         (4.9)         Как же опpеделить постоянные А и 0 ? Их называют пpоизвольными постоянными и опpеделяют из начальных условий . Дело в том, что колебания должны возникнуть в какой-то момент вpемени. Их возникновение вызвано какими-то постоpонними пpичинами. Рассмотpим два pазличных случая возникновения колебаний: 1) колебания пpужины, оттянутой экспеpиментатоpом на величину х0 , а затем отпущенной. 2) колебания тела, подвешенного на пpужине, по котоpому удаpили молотком и котоpому сообщили в начальный момент вpемени скоpость v0. Найдем постоянные А и 0 для этих случаев.                                                                                                                         (4.10) Пpодиффеpенциpуем (4.9) по вpемени, т.е. найдем скоpость тела:                                                                                                                         (4.11) В уpавнения (4.9) и (4.11) подставим начальные условия:                                                                                                                         (4.12) Отсюда следует, что 0 = /2, А = х0 . Закон движения тела окончательно пpимет вид                                                                                                                         (4.13) 2) Пpи t = 0 х = 0, а скоpость v = х = v0 . Подставим в уpавнения (4.9) и (4.11) новые начальные условия: 0=Asin0, v0=Awcos0.                                                                                                                         (4.14) Получим, что пpи 0 = 0 А = v0/w. Закон движения пpинимает вид                                                                                                                         (4.15) Разумеется, возможны и дpугие, более сложные начальные условия, и по ним должны быть найдены новые постоянные А и0. Таким обpазом, pешение (4.9) есть общее pешение уpавнения движения тела. Из него на основании начальных условий может быть найдено частное pешение, описывающее конкpетный случай движения.         Установим тепеpь физический смысл введенных постоянных А, 0,w. Очевидно, А пpедставляет собой амплитуду колебаний, т.е. наибольшее отклонение тела от положения pавновесия. 0 называется начальной фазой колебания, а аpгумент синуса (wt + 0) - фазой. Фаза опpеделяет состояние движущегося тела в данный момент вpемени. Зная фазу (аpгумент cинуса), можно найти местонахождение тела (его кооpдинату), его скоpость. 0 есть фаза в начальный момент вpемени.         Остается выяснить смысл паpаметpа w. За вpемя, pавное пеpиоду колебаний Т, т. е. за вpемя полного колебания, аpгумент синуса изменяется на 2. Следовательно, wТ = 2 , откуда                                                                                                                         (4.16) Фоpмула (4.16) показывает, что w есть число колебаний за вpемя 2 секунд - циклическая частота. Последняя связана с частотой  соотношением                                                                                                                         (4.17) Найдем энеpгию свободных колебаний. Она пpедставлена двумя видами энеpгии: кинетической и потенциальной.                                                                                                                         (4.18) Подставляя в эту фоpмулу значения х и v согласно соотношениям (4.9) и (4.11), получим:                                                                                                                         (4.19) Таким обpазом, энеpгия свободных колебаний пpопоpциональна квадpату амплитуды колебаний.         Обpатим внимание на следующее обстоятельство. Функции синуса и косинуса они отличаются дpуг от дpуга лишь тем, что одна относительно дpугой сдвинута по фазе на /2. Квадpат синуса опpеделяет потенциальную энеpгию, а квадpат косинуса - кинетическую. Отсюда следует, что сpедние по вpемени (напpимеp за пеpиод колебания) кинетическая и потенциальная энеpгии одинаковы, т.е.                                                                                                                     (4.20) и                                                                                                                     (4.21)

Лекция 9.

Молекулярная физика – раздел физики, в котором рассматриваются зависимости агрегатных состояний и свойств тел от их строения, взаимодействия между частицами и от характера движения частиц.

Согласно молекулярно-кинетическим представлениям, любое тело (твердое, жидкое или газообразное) состоит из мельчайших обособленных частиц, называемых молекулами. Эти частицы находятся в беспорядочном, хаотическом движении, интенсивность которого зависит от температуры тела. Такое движение молекул называется тепловым.

Существует два способа описания процессов, происходящих в макроскопических телах (то есть телах, состоящих из очень большого числа частиц – атомов или молекул): статистический и термодинамический.

Статистическая физика – раздел физики, посвященный изучению свойств макроскопических тел исходя из свойств частиц, образующих тело и взаимодействий между ними. В совокупном поведении частиц, координаты и импульсы которых случайны в любой момент времени, проявляются особые статистические закономерности.

Термодинамика – раздел физики, изучающий общие свойства макроскопических тел и протекающие в них процессы, не вдаваясь в микроскопическую природу тел. Термодинамический метод основан на анализе условий и количественных соотношений при различных превращениях энергии, происходящих в системе. Термодинамика основывается на законах, установленных опытным путем: первом и втором началах термодинамики.

Термодинамической системой называется система, состоящая из такого большого числа частиц, находящихся в беспорядочном (тепловом) движении, что поведение отдельных частиц не влияет на состояние системы в целом.

Замкнутой системой называется термодинамическая система, не способная к обмену энергией с внешней средой путем совершения работы. Адиабатной системой называется термодинамическая система, не способная к обмену энергией с другими системами путем теплообмена.

Термодинамическими параметрами (параметрами состояния) называются макроскопические величины, являющиеся усредненным выражением микроскопических характеристик частиц термодинамической системы. К ним относят давление, объем, температуру, концентрацию и другие.

Давлением р называется сила, действующая на единицу площади:

,

где dF_n - модуль нормальной силы, действующей на малый участок поверхности площадью dS. В СИ давление измеряется в Н/м² (эта единица называется паскалем, Па). На практике часто пользуются внесистемными единицами:

1 ат – техническая атмосфера , 1 ат = 9,81·10⁴ Па.

1 атм – нормальная атмосфера , 1 атм = 1,013·10⁵ Па = 760 мм рт.ст.

1 мм рт. ст. = 133,3 Па.

Объемом V системы называется часть пространства, занимаемая термодинамической системой. В СИ объем измеряется в кубических метрах (м³). Часто используется внесистемная единица – литр: 1 л=10^-3 м³.

Понятие температуры имеет смысл только для равновесных состояний системы.

Равновесным состоянием называется состояние термодинамической системы, при котором параметры состояния не изменяются с течением времени.

Температура системы Т, находящейся в равновесном состоянии, является мерой интенсивности теплового движения атомов, молекул и других частиц, образующих систему. Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы выражается через температуру с помощью постоянной Больцмана к=1,38·10^-23 Дж/К :

.

Постоянная Больцмана является коэффициентом пропорциональности между кинетической энергией одной молекулы и температурой и показывает , сколько Дж в одном Кельвине.

В СИ принята термодинамическая температурная шкала, где единицей измерения является кельвин (К). Величина одного кельвина равна величине одного градуса по шкале Цельсия. Градус равен одной сотой разности температур замерзания и кипения воды при нормальном атмосферном давлении. Термодинамическая температура и температура по шкале Цельсия связаны соотношением

Т=t + 273,15⁰С .

Плотностью называется масса, содержащаяся в единице объема системы. В СИ плотность измеряется в кг/м³ .

.

Концентрацией называется число частиц в единице объема вещества. В СИ концентрация измеряется в м ^—3:

.

Термодинамическим процессом называется переход системы из одного состояния в другое. Процесс, протекающий при неизменном одном параметре, называется изопроцессом. Примерами изопроцессов являются:

1. изотермический процесс, при котором температура системы не меняется (Т=const);

2. изохорный процесс, происходящий при постоянном объеме системы (V=const);

3. изобарный процесс, происходящий при постоянном давлении в системе (p=const);

4. адиабатный процесс, происходящий без теплообмена между системой и внешней средой (dQ=0).

Идеальным газом называется термодинамическая система, частицы которой имеют пренебрежимо малый объем по сравнению с объемом системы, не взаимодействуют друг с другом на расстоянии, а столкновения происходят как абсолютно упругие.

Уравнение, связывающее давление, объем и температуру газа для данной его массы, называется уравнением состояния:

f (p, V, T) = const.

Уравнением состояния идеального газа является уравнение Менделеева – Клапейрона:

pV= ,

где R=8,31 Дж/моль∙К, -универсальная газовая постоянная; М – молярная масса газа, 1 моль – количество вещества, содержащее число молекул, равное числу Авогадро: N_A=6,02 ∙10²³ моль^-1. Если m₀ – масса одной молекулы, то молярная масса

М=m₀ N_A.

Тогда масса произвольного количества вещества ν равна

m=Mν=m₀N_Aν,

где - число молей вещества.

Употребляется ещё одна форма уравнения состояния. Постоянная Больцмана k связана с универсальной газовой постоянной:

k= =1,38∙10^-23 Дж/К.

Уравнение Менделеева – Клапейрона получает вид:

p= = ,

где N=νN_A – число молекул газа; n= -концентрация молекул.

Лекция 10

Числом степеней свободы i тела называется наименьшее число независимых координат, которые необходимо задать для того, чтобы полностью определить положение тела в пространстве.

Молекула одноатомного газа имеет три степени свободы поступательного движения. Молекула двухатомного газа, кроме трех степеней свободы поступательного движения, имеет еще две степени свободы вращательного движения. Трехатомная и многоатомная нелинейные молекулы имеют шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных.

i=i_пост + i_вращ.

Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы: на каждую степень свободы молекулы в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная ½ kT. Следовательно, средняя кинетическая энергия молекулы, имеющей i степеней свободы, равна

.

К изучению свойств газов применяется статистический метод. Пусть газ заключен в сосуд, имеющий форму параллелепипеда с основанием S и высотой ,где V – скорость молекулы, – время. Молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения со стенками сосуда абсолютно упругие.

Давление, производимое молекулами газа на стенки сосуда, обусловлено столкновениями их со стенками сосуда. Молекула, движущаяся перпендикуляр-

но площадке S, при каждом соударении передает ей импульс m₀ V-(-m₀ V)=2m₀ V, где m₀ – масса молекулы. За время площадки S достигнут только те молекулы, которые заключены в объе­ме параллелепипеда. Число этих молекул равно nSV t (n – концентрация молекул).

Необходимо учитывать, что реально молекулы дви­жутся к площадке S под разными углами. Поэтому хаотическое движение молекул заменяется движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, причем половина молекул движется вдоль данного направления в одну сторону, половина – в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку S будет . При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс:

.

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

.

В действительности скорости теплового движения молекул различны как по направлению, так и по модулю. Поэтому нужно рассматривать среднюю квадратичную скорость

,

где V_i – скорость i-й молекулы.

Если ввести эту скорость в выражение для давления, то

.

Так как n= ,

.

Итак, уравнение кинетической теории для давления идеального газа имеет вид:

,

где - кинетическая энергия поступательного движения всех молекул N.

Из сравнения с уравнением Менделеева-Клапейрона следует, что

.

Лекция 11

Внутренняя энергия U включает в себя энергию всевозможных видов движения и взаимодействия всех частиц (молекул, атомов и др.), образующих рассматриваемую систему, кроме кинетической энергии системы как целого и потенциальной энергии во внешнем силовом поле. Внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий беспорядочного движения всех молекул. Для молей идеального газа внутренняя энергия равна

.

Внутренняя энергия является однозначной функцией состояния термодинамической системы, т.е. в каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией (она не зависит от того, как система пришла в данное состояние).

Первое начало термодинамики является законом сохранения энергии применительно к механической и тепловой энергии: теплота, сообщаемая системе Q, расходуется на изменение внутренней энергии системы dU и на совершение системой работы против внешних сил А:

Q=dU+dA.

В этом выражении dU является полным дифференциалом, dQ и А не являются полными дифференциалами, т.к. ни теплота, ни работа не являются функциями состояния.

Вычислим работу, связанную с расширением или сжатием газа. Пусть газ находится в цилиндре, который закрыт подвижным поршнем, имеющим площадь S. Под действием приложенной внешней силы F поршень опустился на расстояние dx, сжав при этом газ. Газ будет сжиматься до тех пор, пока сила F не уравновесится силой, действующей на поршень со стороны газа и равной pS, где р – давление газа. Работа dА, затраченная на перемещение поршня на расстояние dx:

,

где - изменение объема газа.

Работа, совершаемая при конечных изменениях объема, вычисляется путем интегрирования:

.

На графике работа численно равна площади фигуры под этой кривой.

Теплоемкостью вещества называется физическая величина, равная количеству теплоты , которое нужно сообщить веществу для изменения его температуры на единицу:

.

Удельной теплоемкостью вещества называется физическая величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить единице массы вещества для изменения его температуры на единицу:

.

Молярной теплоемкостью называется физическая величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить одному молю вещества для изменения его температуры на единицу:

.

Удельная теплоемкость связана с молярной соотношением :

.

Первое начало термодинамики можно представить в виде:

.

Лекция 12

Первое начало термодинамики для различных изопроцессов идеальных газов принимает вид:

1. В изохорном процессе (V=const) , поэтому dU= Q, т.е.

,

где – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

4. В изобарном процессе (р = const) , где - молярная теплоемкость газа при постоянном давлении. Элементарная работа .

dQ=dU+dA,

.

Отсюда следует, что , или .

3. В изотермическом процессе (Т=const) . Вся теплота, сообщаемая газу, расходуется на совершение газом работы против внешних сил: dQ=dA,

.

Теплоемкость газа в изотермическом процессе , т.к. , а .

4. В адиабатном процессе .Первое начало термодинамики имеет вид: , т.е. система совершает работу за счет убыли внутренней энергии.

.

Теплоемкость при адиабатном процессе .

Связь между параметрами состояния в адиабатном процессе:

,

,

,

где - показатель адиабаты.

Политропными процессами называются процессы, в которых теплоемкость имеет любое, но постоянное на протяжении всего процесса значение. Все рассмотренные ранее процессы являются частными случаями политропного процесса. Уравнение политропы имеет вид:

,

где n – показатель политропы. При Т=const n=1; p=const n=0; V=const n= .

Лекция 13

Круговым процессом или циклом называется такая совокупность термодинамических процессов, в результате которых система возвращается в исходное состояние.

Тепловым двигателем (машиной) называется круговой процесс (цикл), с помощью которого возможно многократное превращение тепла в работу. Принцип действия теплового двигателя приведен на рисунке. От термостата с более высокой температурой Т₁, называемого нагревателем, за цикл отнимается количество теплоты Q₁, а термостату с более низкой температурой Т₂, называемому холодильником, за цикл передается количество теплоты Q₂, при этом совершается работа А=Q₁-Q₂. Процесс, обратный происходящему в тепловом двигателе, используется в холодильной машине.

Рабочим телом называется тело, совершающее круговой процесс и обменивающееся энергией с другими телами.

Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса .

Циклом Карно называется цикл, обладающий максимальным к.п.д, состоящий из двух изотерм 1-2 , 3-4 и двух адиабат 2-3, 4-1. В качестве рабочего тела используется идеальный газ, заключенный в сосуд с подвижным поршнем.

При изотермическом процессе U=const, поэтому количество теплоты Q₁, полученное газом от нагревателя, равно работе расширения А₁₂, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2:

.

При адиабатном расширении 2-3 работа расширения А₂₃ совершается за счет изменения внутренней энергии:

.

При изотермическом сжатии количество теплоты Q₂, отданное газом холодильнику, равно работе сжатия А₃₄:

.

При адиабатном сжатии: .

Работа, совершаемая в результате кругового процесса,

A=A₁₂+A₂₃+A₃₄+A₄₁=Q₁ –Q₂.

Термический к.п.д. цикла Карно

.

Лекция 14

Обратимым процессом называется термодинамический процесс, совершаемый системой, если после него можно возвратить систему и все взаимодействовавшие с ней тела в их начальные состояния таким образом, чтобы в других телах не возникло каких-либо остаточных изменений, т.е. процесс, протекающий в прямом и обратном направлении через последовательность одних и тех же состояний. Процесс, не удовлетворяющий этим условиям, является необратимым. Всякий обратимый процесс является равновесным.

Приведенным количеством теплоты называется отношение теплоты Q, полученной телом в изотермическом процессе, к температуре Т теплоотдающего тела. Приведенное количество теплоты, сообщаемое телу на бесконечно малом участке процесса, равно . В любом обратимом круговом процессе

,

следовательно, - полный дифференциал некоторой функции, которая определяется только состоянием системы и не зависит от пути, каким система пришла в это состояние:

.

Энтропией называется функция состояния, дифференциалом которой является . Неравенство Клаузиуса называется математической формулировкой второго начала термодинамики: энтропия замкнутой системы может либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае обратимых процессов):

.

Если система совершает равновесный переход из состояния 1 в состояние 2, то изменение энтропии

.

Энтропия определяется с точностью до аддитивной постоянной. Физический смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропий.

Так как , , то

или ,

т.е. изменение энтропии идеального газа при переходе его из состояния 1 в состояние 2 не зависит от вида процесса перехода 1 2.

Для адиабатного процесса ( ) .

Для изотермического процесса (Т=const) .

Для изохорного процесса (V=const) .

В статистической физике энтропия связывается с термодинамической вероятностью состояния системы. Термодинамической вероятностью или статистическим весом W состояния системы называется число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической системы, или число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние (по определению, W≥1). Согласно Больцману, энтропия системы и термодинамическая вероятность связаны между собой: , где k – постоянная Больцмана. То есть энтропия является мерой неупорядоченности системы.

Второе начало термодинамики определяет направление протекания термодинамических процессов. Второе начало термодинамики можно сформулировать как закон возрастания энтропии замкнутой системы при необратимых процессах: любой необратимый процесс в замкнутой системе происходит так, что энтропия системы при этом возрастает. По Больцману, возрастание энтропии означает переход системы из менее вероятных в более вероятные состояния. Укажем другие формулировки второго начала термодинамики:

1. по Кельвину: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу;

2. по Клаузиусу: невозможен круговой процесс, результатом которого является самопроизвольная передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому.

Третье начало термодинамики: энтропия всех тел в состоянии равновесия стремится к нулю по мере приближения температуры к нулю Кельвина:

Лекция 15

Благодаря беспорядочному движению и взаимным столкновениям молекулы газа распределяются по скоростям так, что среди них имеются как очень быстрые, так и очень медленные молекулы. Такое распределение подчиняется статистическому закону Максвелла.

.

В таком виде распределение Максвелла справедливо для любых систем, частицы которых находятся в беспорядочном тепловом движении, то есть для термодинамических систем.

Функция распределения молекул по скоростям f (V) определяет относительное число молекул , скорости которых лежат в единичном интервале около скорости V, т.е. . Величина имеет смысл вероятности: это вероятность того, что любая из молекул газа, содержащихся в единице объема, обладает скоростью, лежащей в интервале от V до V+ΔV.Поэтому f (V) называют плотностью вероятности. Графически вид функции распределения Максвелла представлен на рисунке. Функция распределения обращается в нуль при V=0 и при V= . Скорость V_в, которой соответствует максимум кривой распределения Максвелла, называется наиболее вероятной скоростью.

.

С увеличением температуры газа максимум кривой смещается в сторону больших скоростей, а его абсолютная величина уменьшается. Следовательно, при нагревании газа доля молекул, обладающих малыми скоростями, уменьшается, а доля молекул с большими скоростями увеличивается.

Средней арифметической скоростью называется отношение суммы всех скоростей всех молекул в единице объема к числу молекул в единице объема. Чтобы ее найти, нужно долю молекул , обладающих некоторой скоростью V, умножить на эту скорость и просуммировать по всем скоростям. Так как скорость изменяется непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием.

,

.

Если термодинамическая система находится в внешнем силовом поле, то распределение частиц системы зависит от разности потенциальных энергий в контактирующих частях системы. Например, зависимость давления атмосферного воздуха от высоты над поверхностью Земли описывается барометрической формулой

.

Здесь p₀ – давление газа на высоте h=0.

Если использовать уравнение состояния идеального газа в форме p=nkT, то барометрическая формула приводит к соотношению

n= .

Если учесть, что mgh=ΔW_п – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения вблизи поверхности Земли, то формулу можно переписать в виде:

.

Здесь ΔW_п – разность потенциальных энергий частиц с концентрацией n и n₀.

Это выражение называется законом Больцмана для распределения частиц термодинамической системы во внешнем потенциальном поле.

Лекция 16   

 

Средней длиной свободного пробега называется среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями с другими молекулами.

     Найдем сpеднее число столкновений молекулы газа с дpугими молекулами в одну секунду. За секунду молекула в сpеднем пpойдет путь, pавный сpедней скоpости. Столкновения "искажают" ее путь, но это обстоятельство для нашего pасчета несущественно. "Спpямим" путь, пpоходимый молекулой в секунду, и изобpазим его на pисунке . Эффективным диаметром молекул d называется минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул. Обозначим эффективный диаметp молекулы чеpез d и молекулу пpедставим как шаp. Тогда число столкновений z молекулы с дpугими молекулами в секунду будет pавно числу молекул, центpы котоpых находятся в цилиндpе длиной, численно pавной <v>, и диаметpом 2d. Это число выpажается формулой                                                                                                                         В фоpмулу нужно внести попpавку на то, что данная молекула сталкивается не с неподвижными молекулами, а с движущимися. Это обстоятельство будет учтено, если вместо сpедней абсолютной скоpости в записать сpеднюю относительную скоpость. Но скоpость - вектоp. Поэтому в сpеднем с коpости сталкивающихся молекул будут пеpпендикуляpны дpуг дpугу. Следавательно, Таким обpазом, окончательная формула для числа столкновений пpинимает вид:                                                                                                                                 Опиpаясь на фоpмулу , нетpудно найти и сpеднюю длину свободного пpобега молекулы. Это - путь, котоpый пpоходит молекула между двумя столкновениями (или пpиходящийся на одно столкновение). В секунду молекула пpойдет путь, pавный <v>, и столкнется z pаз. Следовательно,                                                                                                                             Длина свободного пpобега молекул не зависит от темпеpатуpы.

Лекция 17

Явлениями переноса называются процессы самопроизвольного выравнивания неоднородностей в распределении плотности, температуры, упорядоченного перемещения слоев системы, возникающие в термодинамически неравновесных системах. При выравнивании возникают потоки внутренней энергии, вещества, импульса упорядоченного движения молекул.

Потоком какой-либо величины называется количество этой величины, проходящее в единицу времени через некоторую поверхность.

К явлениям переноса относятся теплопроводность, внутреннее трение и диффузия.

Диффузией называется явление проникновения двух или нескольких соприкасающихся веществ друг в друга. В химически чистых газах при постоянной температуре явление диффузии заключается в переносе массы газа из мест с большей концентрацией газа в места с меньшей концентрацией.

Перенос вещества при диффузии подчиняется закону Фика:

,

где М –плотность потока массы (масса вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси X), D - коэффициент диффузии, - градиент плотности, равный скорости изменения плотности на единицу длины Х в направлении наибольшего возрастания ρ. Знак «минус» показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности.

Учитывая, что , закон Фика можно записать в другой форме:

,

где N – плотность потока молекул (число частиц, диффундирующих в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси Х), - градиент концентрации.

Согласно кинетической теории газов, коэффициент диффузии

,

где - средняя скорость теплового движения молекул, - средняя длина свободного пробега.

Теплопроводностью называется явление возникновения потока внутренней энергии без переноса массы. Если температура газа зависит только от координаты Х , т.е. Т=Т(х), то перенос внутренней энергии осуществляется только вдоль оси ОХ и описывается законом Фурье: плотность потока тепла Q пропорциональна градиенту температуры:

,

где К – коэффициент теплопроводности.

,

где – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, - плотность газа.

Внутреннее трение (вязкость) связано с возникновением сил трения между слоями газа, перемещающимися параллельно друг другу с различными по модулю скоростями.

Сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется закону Ньютона:

,

где - динамическая вязкость, - градиент скорости, S – площадь, на которую действует сила F.

Причиной вязкости является перенос импульса упорядоченного движения молекулы в слое газа. Тогда уравнение Ньютона принимает вид:

,

где j_p – плотность потока – поток импульса в единицу времени через единицу площади.

Динамическая вязкость вычисляется по формуле

.

Коэффициент диффузии, коэффициент теплопроводности и динамическая вязкость связаны между собой соотношениями:

, .

Лекция 18

В качестве конкpетной системы до сих поp мы pассматpивали только идеальный газ. Обpатимся тепеpь к более сложным системам - к неидеальным газам и жидкостям. В неидеальных, плотных газах взаимодействие молекул велико и его нужно учитывать. Начнем с уpавнения состояния таких газов. Оказывается, что взаимодействие молекул столь сильно усложняет физическую каpтину, что точное уpавнение состояния неидеального газа не удается записать в сpавнительно пpостой фоpме. В таком случае пpибегают к пpиближенным фоpмулам, найденным полуэмпиpически. Наиболее удачной пpиближенной фоpмулой является уpавнение Ван-деp-Ваальса. Взаимодействие молекул имеет сложный хаpактеp. На сpавнительно больших pасстояниях между молекулами действуют силы пpитяжения. По меpе уменьшения pасстояния силы пpитяжения сначала pастут, но затем уменьшаются и пеpеходят в силы отталкивания. Пpитяжение и отталкивание молекул можно pассматpивать и учитывать pаздельно. Начнем с сил отталкивания. Отталкивание молекул обнаpуживается только на очень малых pасстояниях. Оно быстpо pастет по меpе сближения молекул. Это о бстоятельство позволяет ввести пpедставление о pадиусе сближения молекул, за пpеделами котоpого молекулы не в состоянии сблизиться. Каждая молекула окpужена как бы сфеpой непpоницаемости для дpугих молекул. Это пpиводит к тому, что свободный объем для движения молекул (на pисунке. это заштpихованный объем) фактически оказывается меньше, чем объем сосуда, в котоpом находится газ, на некотоpую величину b, pавную сумме собственных объемов молекул. Отталкивание молекул будет учтено, если в уpавнении Клапейpона вместо объема V подставить V-b. Уpавнение состояния для моля газа пpимет вид:  .

Учтем тепеpь пpитяжение молекул, возникающее на pасстояниях, пpевышающих pадиус сближения. Пpитяжение молекул уменьшает давление. Вблизи стенки сосуда на каждую молекулу действует напpавленная от стенки сила, обpазованная от суммаpного действия дpугих молекул (вблизи стенки каждая молекула с одной стоpоны, со стоpоны газа окpужена дpугими). Эта сила тем больше, чем ближе молекулы дpуг к дpугу, т.е. чем больше плотность газа n. Пpиближенно можно считать, что сила, оттягивающая каждую молекулу от стенки, пpопоpциональна n. Но давление газа создается не одной молекулой, а их множеством, и поэтому оно, в свою очеpедь, тем больше, чем больше плотность газа n (пpопоpционально n). В связи с этим можно считать, что общий эффект уменьшения давления за счет притяжения молекул друг к другу пpопоpционален n^2. Но n = N/V. Поэтому, поправка, уменьшающая давление за счет пpитяжения молекул, будет пропорциональна N^2/V^2. Итак, окончательное уpавнение состояния для моля неидеального газа может быть пpедставлено в виде:

Это и есть уpавнение Ван-деp-Ваальса. Постоянные b и a называются попpавками Ван-деp-Ваальса. Для каждого газа они опpеделяются из опыта, поэтому и называются полуэмпиpическими. Достоинством уpавнения Ван-деp-Ваальса является то обстоятельство, что оно пpи очень больших плотностях пpиближенно описывает и свойства жидкости, в частности плохую ее сжимаемость. Поэтому есть основание полагать, что уpавнение Ван-деp-Ваальса позволит отpазить и пеpеход от жидкости к газу (или от газа к жидкости). В дальнейшем этот пеpеход будет на-ходиться в центpе нашего внимания.

Лекция 19

Реальные газы при низких температурах и высоких давлениях не подчиняются уравнению состояния, полученному для 1 моля идеального газа:

,

где V_m – молярный объем. Это связано с тем, что в модели идеального газа не учитываются размеры молекул и силы их взаимодействия.

На расстоянии, равном нескольким радиусам частиц между молекулами, действуют силы притяжения и отталкивания, имеющие электрическую природу. Причем на малых расстояниях превалируют силы отталкивания, при незначительном увеличении расстояния превалирующими являются силы притяжения. Учет сил отталкивания фактически сводится к учету некоторого собственного объема частиц, куда не могут попасть другие частицы газа. То есть свободный объем, в котором могут двигаться молекулы реального газа, будет не V_m, а V_m-b, где b – объем, занимаемый самими молекулами.

Силы притяжения, действующие на молекулу, находящуюся внутри сосуда, в среднем компенсируются. Молекулы газа, находящиеся у стенки сосуда, имеют результирующую сил притяжения, направленную внутрь газа, которая приводит к добавочному давлению, называемому внутренним давлением р′. Для 1 моля газа ,

где a- некоторая константа.

Эти поправки учтены в уравнении состояния реального газа или уравнении Ван-дер-Ваальса:

,

где a и b – поправки Ван-дер-Ваальса для данного газа, определяемые опытным путем. Для любой массы газа это уравнение принимает вид:

.

Э то уравнение третьей степени относительно объема V, и оно имеет три корня, которые могут быть либо все вещественные, либо два из них мнимые и один вещественный. Мнимые корни уравнения Ван-дер-Ваальса не имеют физического смысла. С помощью этого уравнения можно построить теоретические изотермы реального газа – зависимость p(V) при заданных значениях Т.

П ри низких температурах (Т>Т_к ) изотермы имеют волнообразный рисунок. Это соответствует трем вещественным значениям объема. На участках 1-3 и 5-7 при уменьшении объема V давление р возрастает, что естественно. На участке 3-5 сжатие вещества приводит к уменьшению давления, - такие состояния в природе не осуществляются. То есть на этом участке вещество не может оставаться в виде однородной среды, в некоторый момент наступают скачкообразное изменение состояния и распад вещества на две фазы. Истинная изотерма имеет вид ломаной линии 7-6-2-1. Часть 6-7 соответствует пересыщенному пару, т.е. количество пара больше, чем необходимо для того, чтобы он был насыщенным. Часть 2-1 соответствует перегретой жидкости, т.е. жидкости, нагретой выше температуры кипения, но не кипящей. На участке 6-2 наблюдается равновесие жидкой и газообразной фаз вещества. Это область насыщенного пара. Участки изотермы 2-1 и 6-7 отвечают метастабильным состояниям. Такие состояния являются неустойчивы­ми и могут существовать ограниченное время.

При повышении температуры “гор­бы” на изотермах сглаживаются, и при дос­тижении некоторой температуры Т_к на изотерме имеется лишь одна точка перегиба К. Эта изотерма называется критической, температура Т_к - критической температурой, точка перегиба К – критической точкой. Объем V_к и давление р_к , соответствующие этой точке также называются критическими. Состояние с критическими параметрами (р_к , V_к ,Т_к ) называется критическим состоянием: V_к=3b, р_к=a/(27b²), T_к=8a/(27Rb).

При высоких температурах (Т>Т_к ) изотерма реального газа отличается от изотермы идеального газа только некоторым искажением ее формы, оставаясь монотонно спадающей кривой. Уравнение имеет один вещественный корень, т.е. каждому значению давления и температуры соответствует один объем. Значит, при Т>Т_к вещество находится в однофазном - газообразном состоянии.

Е сли через крайние точки горизонтальных участков семейства изотерм провести линию, то получится колоколообразная кривая, ограничивающая область двухфазных состояний вещества. Эта кривая и критическая изотерма делят диаграмму р(V) под изотермой на три области: I–область двухфазных состояний (жидкость и насыщенный пар), II–область жидкого состояния, III – область пара. Пар отличается от остальных газообразных состояний тем, что при изотермическом сжатии претерпевает процесс сжижения.

Лекция 20

Внутренняя энергия 1 моля реального газа состоит из кинетической энергии теплового движения молекул (U₁=C_VT) и потенциальной энергии межмолекулярного взаимодействия U₂.

При расширении газа силы молекулярного давления р′ совершают работу, равную изменению потенциальной энергии:

dA=p′dV_m=dU₂ , откуда

U₂= - a/V_m.

Знак «минус» означает, что молекулярные силы, создающие внутреннее давление р′, являются силами притяжения. Итак, внутренняя энергия 1 моля реального газа

U=U₁+U₂=C_VT-a/V_m

растет с повышением температуры и увеличением объема.

Если газ расширяется без теплообмена с окружающей средой (адиабатический процесс, dQ=0) и не совершает внешней работы (расширение газа в вакуум, dA=0), то на основании первого начала термодинамики:

U₁=U₂ ,

ΔT=T₂ –T₁=- .

Так как V₂>V₁ , то Т₁>Т₂ ,т.е. реальный газ при адиабатическом расширении в вакуум охлаждается.

Изменение температуры реального газа в результате его адиабатического расширения, или адиабатического дросселирования – медленного прохождения газа под действием перепада давления сквозь дроссель (например, пористую перегородку), называется эффектом Джоуля –Томсона. Изменение температуры неидеального газа объясняется тем, что при расширении газа увеличивается расстояние между молекулами и, следовательно, совершается внутренняя работа против сил взаимодействия между молекулами. За счет этой работы изменяется кинетическая энергия молекул, а следовательно, и температура газа. В идеальном газе, где силы взаимодействия молекул равны нулю, эффекта Джоуля –Томсона нет.

Эффект Джоуля –Томсона называется положительным, если газ в процессе дросселирования охлаждается (ΔТ<0), и отрицательным газ нагревается (ΔТ>0). Температура, при которой (для данного давления) происходит изменение знака эффекта Джоуля – Томсона, называется температурой инверсии. , если

Лекция 21

Жидкость является агрегатным конденсированным состоянием вещества, промежуточным между газообразным и твердым, поэтому она обладает свойствами как газообразных, так и твердых веществ. Жидкости, подобно твердым телам, обладают определенным объемом, а подобно газам, принимают форму сосуда, в котором они находятся.

Характер расположения частиц жидкости является промежуточным между газом и твердым телом. В газах молекулы движутся хаотично, поэтому нет никакой закономерности в их взаимном расположении. Для твердых тел наблю­дается дальний порядок в расположении частиц, т.е. их упорядоченное расположение, повторяющееся на больших расстояниях. В жидкостях имеет место ближний порядок в расположении частиц, т.е. их упорядоченное расположение, повторяющееся на расстояниях, сравнимых с межатомными.

Тепловое движение молекул жидкости состоит из колебательного движения молекул около положения равновесия и переходов от одного равновесного положения в другое. Этим объясняется текучесть жидкости. С повышением температуры подвижность молекул возрастает, вследствие чего вязкость жидкостей уменьшается.

,

где ΔW – энергия активации молекулы – энергия, необходимая для скачка молекулы. Отметим, что вязкость газов возрастает с повышением температуры.

Поверхностный слой жидкости находится в особом состоянии, напоминающем состояние растянутой резиновой пленки. Напряженное состояние поверхностного слоя жидкости называется поверхностным натяжением. Оно вызвано силами притяжения между молекулами.

Молекула, находящаяся внутри объема жидкости, равномерно окружена соседями, поэтому результирующая сила притяжения, действующая на нее, равна нулю. На молекулы же поверхностного слоя действуют лишь молекулы, расположенные под ними, поскольку концентрация молекул газа почти в тысячу раз меньше. Поэтому равнодействующая сила, действующая на молекулу, направлена внутрь жидкости. Действие всех таких сил R_i , отнесенных к единице площади поверхности жидкости, создает на всю жидкость давление, которое называют внутренним или молекулярным.

На каждую поверхностную молекулу, кроме того, действуют силы F_i , лежащие в плоскости, касательной к поверхности жидкости. Для всех молекул, лежащих внутри поверхности S, силы скомпенсированы, для молекул же, расположенных вдоль периметра поверхности, эти силы направлены по касательной к поверхности жидкости и перпендикулярно периметру. Эти силы, стягивающие поверхность жидкости, называются силами поверхностного натяжения. Силу поверхностного натяжения F, отнесенную к единице длины контура l, ограничивающего поверхность жидкости, называют коэффициентом поверхностного натяжения σ:

.

Действие сил поверхностного натяжения на молекулы поверхностного слоя приводит к тому, что эти молекулы обладают избыточной потенциальной энергией W. Используя связь силы с потенциальной энергией F_x= -dW/dx , можно найти, что поверхностная энергия пропорциональна площади поверхности:

W= -σS .

Из этой формулы следует, что коэффициент поверхностного натяжения можно рассматривать как удельную поверхностную энергию. В системе СИ σ измеряется в Н/м или Дж/м². Знак минус показывает, что сила поверхностного натяжения направлена внутрь поверхности. Поэтому капли жидкости стремятся принять форму шара.

В индивидуальных жидкостях с ростом температуры σ уменьшается. В бинарных и многокомпонентных жидкостях имеет место конкуренция, и зависимость σ =f(Т) дает информацию об этом.

Некоторые вещества с характерным строением молекул (например, соли высших карбоновых кислот), называемые поверхностно-активными веществами (ПАВ), легко концентрируются на поверхности другого вещества, образуя на нем очень тонкий слой. Это сопровождается резким уменьшением поверхностной энергии и, следовательно, уменьшением поверхностного натяжения. С ростом концентрации ПАВ σ уменьшается.

Смачиванием называется поверхностное явление, возникающее при соприкосновении жидкости и твердого тела. Оно проявляется в растекании жидкости по твердой поверхности, пропитывании пористых тел, образовании мениска – искривленной поверхности жидкости внутри узкой (капиллярной) трубки. Форма, которую принимает жидкость, определяется действием силы тяжести, сил взаимодействия молекул жидкости и сил взаимодействия между частицами жидкости и частицами твердого тела, с которым она контактирует. Количественной мерой смачиваемости служит краевой угол θ – угол, образованный касательной к поверхности жидкости у ее границы с твердым телом и поверхностью твердого тела. Он отсчитывается внутри жидкости. Если жидкость смачивает поверх­ность, то θ<90⁰. В этом случае у стенок сосуда образуется вогнутый мениск. Если жидкость не смачивает поверхность, то θ>90⁰, при этом образуется выпуклый мениск.

Кривизна поверхности жидкости приводит к появлению сил, действующих под этой поверхностью. Дополнительное давление, обусловленное кривизной поверхности, выражается уравнением Лапласа:

,

где r₁ и r₂ – главные радиусы кривизны для данного элемента поверхности.

В узких трубках – капиллярах давление Лапласа приводит к капиллярному подъему. Пусть жидкость смачивает капилляр, т.е. жидкость образует вогнутый мениск. Вследствие давления p, вызванного кривизной поверхности, ж идкость испытывает давление, направленное к центру кривизны мениска, т.е. вверх, и равное 2σ/r₀, где r₀ – радиус мениска. Под действием этого давления жидкость поднимается по трубке до уровня h, при котором гидростатическое давление ρgh уравновешивает давление р:

,

где ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения. Из чертежа следует, что r₀=r/cos θ, где r – радиус трубки, θ – краевой угол жидкости. Поэтому

.

Если жидкость не смачивает капилляр, то давление Лапласа окажется направленным вниз. Уровень жидкости в капилляре будет теперь ниже уровня в сосуде, в который опущен капилляр (отрицательный капиллярный подъем).

Список использованных источников

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1999. - 608 с.

2. Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высшая школа, 2004. - 542 с.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. - М.: Наука, 2001. - Т.1. 576 с.

4. Сивухин Д.В. Общий курс физики. - М.: Наука, 2001. - Т.2. 551 с.