Оценивание параметров структурной модели
Для решения идентифицируемых уравнений применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных – двухшаговый метод наименьших квадратов.
Косвенный МНК состоит в следующем:
1) составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров для каждого ее уравнения в отдельности с помощью обычного МНК;
2) путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные
оценки структурных параметров.
Двухшаговый МНК заключается в следующем:
1) составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения в отдельности с помощью обычного МНК;
2) выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения (параметры которого определяют двухшаговым МНК) и находят расчетные значения по полученным на первом этапе соответствующим уравнениям приведенной формы модели;
3) с помощью обычного МНК определяют параметры каждого структурного уравнения в отдельности, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения, полученные на втором этапе.
Контрольные вопросы:
1. Какие виды систем уравнений применяются в эконометрике? Охарактери-
зуйте их.
2. Какие методы применяются для нахождения структурных коэффициентов
модели для различных видов систем уравнений?
3. Какие переменные называются эндогенными, экзогенными, предопределен-
ными?
4. Что представляют собой структурная и приведенная форма модели?
5. Что понимается под идентификацией модели?
6. На какие виды подразделяются структурные модели с позиции идентифици-
руемости?
7. Что представляют собой необходимое и достаточное условия идентифика-
ции уравнения?
8. В каком случае применяется и что представляет собой косвенный МНК?
9. В каком случае применяется и что представляет собой двухшаговый МНК?
3.4. Решение типовых задач
Пример 1. Требуется:
1. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:
2. Исходя из приведенной формы модели уравнений
найти структурные коэффициенты модели.
Решение:
1. Исследование модели на идентифицируемость.
Модель имеет три эндогенные
и три экзогенные
переменные.
Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.
Первое уравнение.Необходимое условие
(Н): эндогенных переменных – 2
,
отсутствующих экзогенных – 1 (
).
Выполняется необходимое равенство: 2 = 1+1, следовательно, уравнение
точно идентифицируемо.
Достаточное условие (Д): в первом уравнении
отсутствуют
и
.
Построим матрицу из коэффициентов при
них в других уравнениях системы
Уравнение |
Отсутствующие переменные |
|
|
|
|
Второе |
-1 |
|
Третье |
|
0 |
Определитель матрицы Det A =
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно,
выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно
идентифицируемо.
Второе уравнение.Н: эндогенных
переменных –3
, отсутствующих экзогенных – 2
Выполняется необходимое равенство: 3 = 2+1, следовательно, уравнение
точно идентифицируемо.
Д: во втором уравнении отсутствуют
и
.
Построим матрицу из коэффициентов при
них в других уравнениях системы
Уравнение |
Отсутствующие переменные |
|
|
|
|
Второе |
|
|
Третье |
|
|
Определитель матрицы Det A =
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно,
выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно
идентифицируемо.
Третье уравнение.Н: эндогенных
переменных –3
,отсутствующих
экзогенных –
Выполняется необходимое равенство: 2 = 1+1, следовательно, уравнение
точно идентифицируемо. Д: во втором уравнении отсутствуют и . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы
Уравнение |
Отсутствующие переменные |
|
|
|
|
Второе |
-1 |
0 |
Третье |
|
|
Определитель матрицы Det A =
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно,
выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно
идентифицируемо.
Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может
быть решена косвенным методом наименьших квадратов.
2. Вычисление структурных коэффициентов модели:
1) из третьего уравнения приведенной формы выразим (так как его нет впервом уравнении структурной формы)
Данное выражение содержит переменные
,
и
,
которые входят в пра-
вую часть первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим по-
лученное выражение в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ)
2) во втором уравнении СФМ нет переменных и . Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа.
Первый этап: выразим в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения
Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы
задачу до конца, так как в выражении присутствует , которого нет в СФМ.
Выразим из третьего уравнения ПФМ
Подставим его в выражение для
Второй этап: аналогично, чтобы выразить
через искомые
и
,
заменим в выражении
значение
на полученное из первого уравнения
ПФМ
Следовательно
Подставим полученные и , во второе уравнение ПФМ
откуда
3) из второго уравнения ПФМ выразим
,
так как его нет в третьем уравнении СФМ
Подставим полученное выражение в третье
уравнение ПФМ
В результате получаем третье уравнение СФМ
Таким образом, СФМ примет вид
Пример 2. Изучается модель вида
где y – валовой национальный доход;
–
валовой национальный доход предшествующего
года;
С – личное потребление;
D – конечный спрос (помимо личного потребления);
и
– случайные составляющие.
Информация за девять лет о приростах всех показателей дана в табл. 3.1.
Год |
|
|
|
|
Год |
|
|
|
|
1 |
-6,8 |
46,7 |
3,1 |
7,4 |
6 |
44,7 |
17,8 |
37,2 |
8,6 |
2 |
22,4 |
3,1 |
22,8 |
30,4 |
7 |
23,1 |
37,2 |
35,7 |
30 |
3 |
-17,3 |
22,8 |
7,8 |
1,3 |
8 |
51,2 |
35,7 |
46,6 |
31,4 |
4 |
12 |
7,8 |
21,4 |
8,7 |
9 |
32,3 |
46,6 |
56 |
39,1 |
5 |
5,9 |
2,4 |
17,8 |
22,8 |
|
167,5 |
239,1 |
248,4 |
182,7 |
Для данной модели была получена система приведенных уравнений
Требуется:
1. Провести идентификацию модели.
2. Рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.
Решение:
1. В данной модели две эндогенные переменные ( и С) и две экзогенные переменные
(D и ). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит ни одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1+1.
Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры
при С и D наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении
содержится одна эндогенная переменная . Переменная С в данном уравнении
не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной D. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2:
D + 1 > Н. Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована.