2. Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.
Шаг 1. На основе системы приведенных уравне
ний по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогеннойпеременной С. Для этого в приведенное уравнение
подставим значения D и , имеющиеся в условии задачиПолученные значе-
ния обозначим
(i = 1,...,9) (табл. 3.2).
Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы
модели заменяем фактические значения С на теоретические Ĉ и рассчитываем
новую переменную Ĉ + D (табл. 3.2).
Таблица 3.2
Год |
|
|
|
Год |
|
|
|
1 |
-6,8 |
15,8 |
9 |
1 |
44,7 |
27,4 |
72,1 |
2 |
22,4 |
16,8 |
39,2 |
2 |
23,1 |
24 |
4,1 |
3 |
-17,3 |
7,4 |
-9,9 |
3 |
51,2 |
33,2 |
84,4 |
4 |
12 |
14,3 |
26,3 |
4 |
32,3 |
29 |
61,3 |
5 |
5,9 |
15 |
20,9 |
|
167,5 |
182,9 |
350,4 |
Далее к сверхидентифицированному
уравнению применяется метод наименьших
квадратов. Обозначим новую переменную
Ĉ + D через Z. Решаем уравнение
С помощью МНК получим
= 7,678;
0,542.
Запишем первое уравнение структурной модели
y = 7,678 + 0,542 (С + D).
Пример 3. Рассматривается следующая модель:
где
–
расходы на потребление в период
;
– совокупный доход в период
;
–
инвестиции в период
;
–
процентная ставка в период
;
–
денежная масса в период
;
–
государственные расходы в период
;
– расходы на потребление в период
;
–
инвестиции в период
;
–
случайные ошибки.
Требуется:
1. В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложить способ оценки ее параметров.
2. Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тождество дохода?
Решение:
1. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.
Модель включает четыре эндогенные переменные ( , , , и ) и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные – и и две лаговые эндогенные переменные – и ).
Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.
I уравнение.
Это уравнение включает две эндогенные переменные и и одну предопределенную переменную . Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение:
3 + 1 > 2. Уравнение сверхидентифицировано.
II уравнение.
Уравнение II включает две эндогенные переменные и и не включает
три предопределенные переменные. Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение:
3 + 1 > 2. Уравнение сверхидентифицировано.
III уравнение.
Уравнение III тоже включает две эндогенные переменные , и и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифицировано.
IV уравнение.
Уравнение IV представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.
Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.
Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение I |
-1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Уравнение II |
0 |
0 |
0 |
-1 |
|
|
0 |
0 |
Уравнение III |
0 |
|
0 |
0 |
-1 |
0 |
|
0 |
Уравнение IV |
1 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
В соответствии с достаточным условием идентификации определитель
матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, т. е. 4–1=3.
I уравнение.
Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид
Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3х3 этой
матрицы не равен нулю
Достаточное условие идентификации для I уравнения выполняется.
II уравнение.
Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение
Ее ранг равен трем, так как имеется квадратная подматрица 3 х 3 этой мат-
рицы, определитель которой не равен нулю.
Достаточное условие идентификации для II уравнения выполняется.
III уравнение.
Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение
Ее ранг также равен трем.
Достаточное условие идентификации для III уравнения выполняется.
Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы. Для оцен-
ки параметров каждого из уравнений будем применять двухшаговый МНК
Шаг 1. Запишем приведенную форму модели в общем виде
где v1, v2, v3, v4 – случайные ошибки.
Определим параметры каждого из приведенных выше уравнений в отдельности обычным МНК. Затем найдем расчетные значения эндогенных переменных Yt, rt используемых в правой части структурной модели, подставляя в каждое уравнение приведенной формы соответствующее значение предопределенных переменных.
Шаг 2. В исходных структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями.
Применяя к каждому из полученных уравнений в отдельности обычный МНК, определим структурные параметры .