3.1. Анализ методов решений оду
Существует большое количество методов решения ОДУ. Одними из наиболее распространенных методов являются методы Рунге-Кутта, Эйлера-Коши и разностные методы.
1) Методы Рунге-Кутта:
Формулы этого метода предназначены для интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка вида
(11)
с начальными условиями
(12)
Существуют формулы Рунге - Кутта, предназначенные для интегрирования дифференциального уравнения второго и третьего порядков, но они очень громоздки и на практике используются очень редко.
Методы Рунге-Кутта обладают следующими отличительными свойствами:
Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка
,
где степень р различна
для различных методов и называется
порядком метода.Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти
,
нужна информация только о предыдущей
точке
,
.Они не требуют вычисления производных от f (x, y), а требуют только вычисления самой функции.
Именно благодаря третьему свойству методы Рунге-Кутта более удобны для практических вычислений. Однако для вычисления одной последующей точки решения приходится вычислять функцию f (x, y) несколько раз при различных значениях х и у. Этот метод требует большой квалификации и времени на отладки
Итерационные методы Эйлера-Коши:
Итерационные методы Эйлера-Коши применимы для интегрирования дифференциальных уравнений любого порядка.
Если имеем дифференциальное уравнение (13)
, (13)
с начальными условиями (14):
, (14)
то формула для интегрирования получается из следующих соображений.
Находят значения функции
в виде трех членов разложения ряда
Тейлора:
(15)
Затем вторая производная
представляется в виде разностного
выражения:
, (16)
Подставив выражения (16) уравнение (15), получим:
(
17)
В выражении (17) значение
неизвестно, поэтому, чтобы воспользоваться
формулой (17), строятся итерационный
процесс.
Таким образом, циклическая процедура вычислений по формуле (17) представляет итерационный метод Эйлера-Коши для дифференциального уравнения первого порядка типа (11).
Применение в программе ЭВМ таких, логических переходов позволяет вести вычисления с автоматическим выбором шага интегрирования h в зависимости от заданной точности.
Разностные методы интегрирования оду:
Эти методы основаны на замене производной в дифференциальных уравнениях их приближенными разностными аналогами.
В итоге система дифференциальных уравнений преобразуется к системе алгебраических уравнений. Алгоритм решения задачи прост, а программа машинной реализации требует минимума времени при отладке. Однако, разностные методы являются неустойчивыми, т.е. решение зависит от величины шага интегрирования. На практике в начале производят расчеты с целью определения шага интегрирования. Критерием выбора является условие когда разность значений двух решений не превышает 5%.
Учитывая сказанное, в качестве метода решения полученной математической модели примем разностный метод.