Тема 1.6. Центр ваги

1. Центр паралельних сил та його властивості.

2. Центр ваги тіла.

3. Положення ц.в. тіла, що має площину або вісь симетрії.

4. Положення центру ваги простих геометричних фігур.

I

Знаючи правила складання двох паралельних сил, неважко шляхом послідовного складання знайти рівнодіючу і для будь-якої системи паралельних сил.

Рівнодіюча двох паралельних сил,направлених в одну сторону,їм паралельна,направлена в ту ж сторону і рівна по модулю їм сумі; лінія дії рівнодіючі лежить між лініями дії складаючи сил на відстанях від них, обернено пропорційних модуля цих сил.

Рівнодіюча двох не рівних по модулю паралельних сил, направлених в протилежні сторони, їм паралельна, направлена в сторону більшої сили і рівна по модулю їх різниці; лінія дії рівнодіючої лежить за більшою силою на відстанях від лінії діючих сил, обережно пропорційних модулям цих сил.

Нехай,наприклад,до тіла прикладені в точках В₁,В₂ і В₃ три паралельні в одну сторону сили F₁,F₃,F₂. Склавши спочатку по відповідному правилу дві силиF₁ і F₂ знайдемо їх рівнодіючу F₁₂. Складаючи слідом по тому ж правилу сил F₁₂із силоюF₃, знайдемо рівнодіючу F всіх трьох даних сил. Ця рівнодіюча,очевидно, паралельна даним силам і направлена в ту ж сторону. Модуль рівнодіючої дорівнює сумі модулів складаючи сил.

Залишається визначити положення точки С, через яку проходить лінія дії рівнодіючої. За точку прикладання рівнодіючої, звичайно, може бути взята будь-яка точка, що лежить на лінії її дії,але виявляється , що тільки одна з них, а саме точка С, визначена шляхом послівного складання сил, володіє особливою,дуже важливою властивістю.

Властивість ця полягає в тому , що якщо ми повернемо всі дані сили навколо їх точок прикладання на однаковий кут ,не порушуючи їх паралельності, то лінії дії їх рівнодіючої, буде знову проходить через точку С.

Точка С носить назву центра системи паралельних сил.

Зі сказаного вище слідує, що центром даної системи паралельних сил називається точка, через яку проходить лінія дії їх рівнодіючої при будь-якому повороті сил системи навколо їх точок прикладання на один і той самий кут в одну і ту ж сторону.

Формули для координат центра системи паралельних сил:

В чисельнику – сума добутків алгебраїчного значення кожної сили на відповідну координату точки її прикладання, в знаменнику – алгебраїчна сума всіх сил.

-2-

По закону всесвітнього тяжіння на всі частинки тіла,що знаходиться поблизу земної поверхні діють сили притягання їх до Землі,тобто сили їх ваги. Ці сили направлені по радіусу Землі і перетинаються поблизу в її центрі; але так як відстань до центра Землі надзвичайно велика в порівнянні з відстанню між частинками тіла звичайних розмірів, то з дуже великою точністю можна розрахувати сили ваги всіх окремих частинок тіла паралельними.

Рівнодіюча сил ваги всіх окремих частинок тіла називається силою ваги тіла,модуль цієї сили називається масою тіла.

Як би не ми повертали тіло і не змінювали його положення в просторі, сили ваги його окремих частинок залишається паралельними одна одній (вертикальними) і відносно тіла вони будуть повертатися навколо своїх точок прикладання, зберігаючи свою паралельність і чисельно значення. Але при такому повороті рівнодіюча паралельних сил. Звідси слідує, що центр ваги знаходиться в цілковито визначеній для кожного тіла точці і змінює свого положення відносно цього тіла при зміні положення самого тіла.

Центр ваги тіла – це така,незмінно пов’язана з цим тілом,точка, через яку проходить лінія дії сили ваги даного тіла при будь-якому положенні тіла в просторі.

Центр ваги однорідної тонкої пластини постійної товщини, що має контури плоскої фігури, називається центром ваги площі даної плоскої фігури.

Його координати

= =

Де А_k - площа довільного елемента фігури, x_k, y_k – координати цього елеманта,

А – площа всієї фігури.

Формула (46) можна дещо видозмінити. Візьмемо довільну фігуру (мал..111) і

Розіб’ємо її площу на окремі елементи А_к. Добуток площі елемента фігури на

найменшу відстань її центра ваги будь-якої осі , у тій же площині, називається

статистичним моментом елемента фігури

відносно даної осі.

Сума статистичних моментів всіх окремих елементів,

на які розбита дана площина, взятих відносно будь-якої

одної осі, називається статичним моментом площі

даної фігури відносно цієї осі.

Позначивши статичні моменти площі фігури відносно координатних осей х і у

відповідно S_xіS_yбудемо мати

Статичний момент площі має, очевидно, одиниці вимірювання довжини в

третьому степені (), так як являє собою добуток площі, що

вимірюється в одиницях довжини в квадраті, на відстань, що вимірюється в

одиницях довжини в першому степені. Замінюючи прийнятими позначеннями

статичних моментів площі чисельники формул (46), отримаємо інші вираження для

координат центра ваги плоскої фігури:

За цими формулами вираховують координати центра ваги плоскої фігури якщо відомі її статичні моменти відносно координатних осей,і, навпаки,самі статичні моменти,якщо відомо положення центра ваги фігури.

Якщо площа поперечного перерізу однорідного тіла однакова по всій довжині і поперечні розміри дуже малі в порівнянні з довжиною,то таке тіло(наприклад, яку-небудь фігуру,зробити з дроту)можна розглядати,як матеріальну лінію.

Координати центра ваги тіла будуть залежити від довжини і форми цієї лінії.

Центр ваги однорідного тіла,площа поперечного перерізу якого однакова по всій довжині і мала в порівнянні з нею,називається центром ваги лінії.

Його координати

-4-

Де lk-елемент довжини тіла x_k? Y_k? z_k-координати цього елемента і l-довжина всього тіла.

Теорема. Якщо однорідне тіло має площину,вісь і центр симетрії,то центр ваги його лежить відповідно в площині,на осі чи в центрі симетрії.

Доведення. Якщо дане тіло симетричне відносно деякої площини П (мал..112), то кожній частинці тіла по одну сторону цієї площини відповідає рівна їй по масі і симетрично розміщена частинка по другу сторону площини.

Візьму яку небуть частину В₁ по одному сторону площини і знайдемо симетричну їй частину В₂ по іншу сторону.

На ці частини будуть діяти однакові по модулю сили ваги . рівно діяча цих двох сил буде прикладена в середини відрізка В₁ В₂ тобто в площині симетрії

Складаючи таким чином маси кожної пари симетричних частинок ,ми отримаємо систему паралельних сил що лежать в площині симетрії тіла. В цій же площині очевидно буде лежати і центр даної симетрії паралельних сил, тобто центр ваги тіла.

Для випадків коли тіло має вісь або центр симетрії теорема доводиться аналогічно.

Наслідки. 1, центр т ваги відрізка матеріальної однорідної прямої лінії лежить в його середині.

2, центр ваги площі однорідного паралелограма лежить а точці перетину його діагоналей що є центром симетрії паралелограма .

3.центр ваги площ правильного многокутника круга еліпса і об’єм кулі лежать в їх геометричних центрах.

-5-

Центр ваги площі трикутника. розіб*ємо площу трикутника прямими, паралельними основі АВ, на велику кількість дууже вузьких смужок. Які можна розглядати як відрізки матеріальної прямої лінії.

Центр ваги кожного такого відрізка лежить в його середині, звідси робимо висновок що центр ваги всієї площі трикутника лежить десь на лінії що з’єднує середини цих відрізків. Тобто на медіані ДЕ трикутника АВД.

Розбивши плащу трикутника прямими паралельними якій-небудь іншій стороні наприклад ВД, і міркуючи аналогічно прийдемо до висновку ,що центр ваги площі трикутника повинен лежати на медіані AF, отже він лежить в точці перетину медіан трикутника .

В геометрії доводиться. Що точка перетину медіан трикутника ділить кожну з них у відношенні 1:2, тобто ця точка лежить на медіані на відстані що дорівнює одній третині медіані від точки перетину медіани з відповідною стороною . тому можна сказати що центр ваги площі трикутника знаходиться на його медіані на відстані одної третьої медіани від точки перетину медіани з відповідною стороною трикутника.

Прямокутний трикутник

Для визначення центра ваги площі довільного многокутника розбиваємо його на трикутники і визначаємо їх центр ваги. Рахуючи масу кожного трикутника трикладеної в його центрі ваги, знаходимо слідом центр систем отриманих таким шляхом паралельних сил.

2. центр ваги дуги кола.

Нехай дана дуга АВ кола радіуса г з центральним кутом 2а . проведемо через середину дуги радіус ОД. так як радіус ОД є віссю симетрії дуги, то шуканий центр ваги С лежить на цьому радіусі.

Направимо вісь х по радіусу ОД і приймемо центр О дуги за початок координат. В цьому випадку потрібно знайти лише одну координату центра ваги х.

3, ценр ваги площі кругового сектора ОАДВ радіусом г з центральним кутом 2 а Приймемо за початок координат центр круга О і направимо вісь х по радіусу ОД, провеленому через середину дуги АВ . розіб*ємо даний сектор на п рівних елементарних секторів.внаслідок малої довжини дуг, що обмежують ці сектори, останні можна розглядати як рівнобедрені трикутники, центри ваги яких лежить на дузі кола радіусом ( медіана елементарного трикутника співпадає з радіусом проведеним в середину відповідної елементарної дуги) на рівних відстанях один від одного. Прикладені до цих центрів маси елементарних секторів внаслідок рівності їх площ рівні між собою . задача зводиться очевидно до визначення центра рівних паралельних сил , точки прикладання яких рівномірно розділені по дузі кола АВ, тобто в межі при необмеженому збільшенні числа п елементарних секторів , до визначення центра ваги однорідної дуги А1В1. Як було встановлено вище її центр лежить на осі симетрії Ох на відстані від центра кола.

В даному випадку радіус цієї дуги її. Отже шукана координата центра ваги площі кругового сектора буде визначатися формулою

Аналітичний спосіб.

Для визначення положення центра ваги фігур і тіл складної геометричної форми їх розбивають на такі частини найпростішої форми ( якщо, звичайно, це можливо),для яких положення центрів ваги відомо, а потім визначають положення центра ваги всіє фігури чи тіла по відповідним формулам

Якщо в даному тілі чи фігурі є порожнина чи отвори, то для визначення центра ваги такого тіла чи фігури користуються такими ж засобами і формулами рахуючи при цьому об*єм і площі вірізаних частин негативними.

В технічній практиці широке розповсюдження має стальний прокат різного профілю. Тобто різної форми поперечного перерізу. Форма цих поперечних перерізів так само як і їх розміри встановлюються державними всесоюзними стандартами . в таблицях так званого нормального сортаменту прокатної сталі , що є різного рроду технічних довідниках приводиться для кожного калібра відповідного профілю всі необхідні відомості а саме геометричні розміри профілю площа перерізу координати центра ваги та ін.. користуючись цими даними можна вказаними вище методами визначити положення центра ваги і складаю чого перерізу отриманого шляхом зєднання кількох стандартних профілей.

2. експерементальний спосіб

Одним з можливих експериментальних способів, визначення положення центра ваги є метод зважування. Нехай , наприклад, потрібно визначити положення центра ваги шатуна. Підвісимо шатун в точці А трясова до не рухомої точки О і спремо його в точці В на платформу десятинних так щоб шатун зайняв горизонтальне положення .

Нехай при цьому сила тиску шатуна на платформу ( а отже і реакція Р платформи прикладена до шатуна ),знайдена шляхом зважування , вия вилося по модулю рівної силі еф.

Знаючи силу ваги G шатуна відстані 1 між точками А і В тепер легко знайти і відстані н від точки А до центра С ваги шатуна,

Згідно рівнянню рівноваги