Тема 1007. Основні поняття кінематики .

Основні поняття кінематики:

1. Траекторія руху точки .

2. Шлях пройдений точкою.

3. Час руху точки.

4. Швидкість та прискорення руху точки .

Кінематика- це розділ теоретичної механіки який вивчає рух тіл лише з геометричної точки зору.

Кінематика повністю ґрунтується на аксіомах: положення геометрії , але відрізняється від неї тим, що крім простору який проходить рухома частина , розглядає ще і час , протягом якого частинка рухається .

Всякий механічний рух матеріального тіла можна можна спостерігати і вивчати лише по відношеню до інших тіл. Тверде тіло , по відношеню до якого за допомогою системи координат визначається положення інших тіл, в різні моменти часу , називається системою відліку .

Можна вибрати таку відповідну систему відліку відносно якої відповідні тіла рухаються .

Таким чином поняття «рух» і «спокій» є відносними і мають зміст лише при вказуванні системі відліку відносно якої вони розглядаються.

Коли координати усіх точок тіла у вибраній системі відліку весь час залишаються незміними , то тіло перебуває у стані спокою , якщо розглядають рух тіла відносно умовно нерухомої системи відліку , то такий називають абсолютним; рух тіла відносно рухомої системи відліку називають відносним.

Рух тіла рахується відомим тоді, коли ми маємо можливість визначити його положення відносно вибраної системи відліку в кожен момент часу.

Час є величиною скалярною . яка безперервно змінюється і розглядається в задачах кінематики.

Незалежна змінена величина ( аргумент) .Всі інші величини розглядаються як функції часу .

Рух всякого тіла складається із руху окремих його точок. Вміючи визначати рух окремих точок , ми можемо визначати і рух тіла в цілому , у ряді випадків , достатньо знати рух лише однієї точки тіла.

В процесі свого руху точка послідовно займає різні положеня відносно прийнятої системи відліку , причому ці положення безперервно йдуть ідуть одне за одним .

Сукупність геометричних положень рухомої точки у вибраній системі відліку називається траєкторією руху цієї точки.

Сума довжин відрізків , з яких складається траєкторія руху точки, називається шляхом пройденим точкою.

Практично довжина шляху рівна довжині траєкторії руху точки. В кожен момент точка може займати лише одне визначене місце на траєкторії і відповідно її шлях, від початку руху є функцією часу:

S =f (t)

Швидкість- це кінематична міра руху точки, що характеризує бистроту зміни й положення в просторі.

Рух в якому швидкість часом зростає називається прискореним. Рух в якому швидкість з часом зменшується називається довільним. Швидкість є величиною векторною.

Прискорення це кінематична міра зміни вектора швидкості точки . Прискорення є величина векторна. Воно показує з якою швидкістю збільшується чи зменшується швидкість руху.

Тема 1008. Кінематика точки .

1. Способи завдання руху точки , рівняння руху

2. Середня швидкість та швидкість в даний момент часу.

3. Прискорення повне , нормальне, дотичне.

4. Види руху точки в залежності від прискорення . Рух точки : рівномірний, рівнозмінний.

1. Природний спосіб.

Припустимо , що точка здійснює рух по деякій траєкторії АВ (мал. 1 ). Візьмемо будь-яку нерухому точку О і назвемо її початком відліку відстані . Виміряна в лінійних одиницях довжина дуги ОМ називається відстанню точки М від початку відліку чи від її дугової координати. Ця відстань позначається прописною буквою (S) ( на відміну від шляху пройденого точкою , що позначається великою буквою S) . Для визначеності рахуватимемо відстань S величиною алгебраїчною і додатною , якщо відстань відкладається по траєкторії і водну будь-яку сторону від початку відліку О, і відємною , якщо воно відкладається в протилежну сторону . Вибір додатного напрямку відліку довільний . Зауважим , що відстань S точки від початку відліку неможна путати з довжиною шляху S пройденого точкою за певний час . Наприклад , деяка точка за проміжок часу від О до t перемістилась по свїй траєкторії із початку відліку О в положення М (мал1) і назад. Тоді в момент t відстань точки від початку відліку S=0 а шлях пройдений точкою за проміжок часу t , рівний подвоєній дузі ОМ: S=2ОМ. Залежність між зміною S і t може бути виражена рівнянням : Рівняння, що виражає функціональну залежність між відстаню точки від початку відліку і часом t її руху , називається рівняням руху точки, по даній траєкторії чи законом руху S= f(t) .

Траєкторія точки може бути задана двома способами:

• Аналітичним, тобто у вигляді р-ння кривої

• Гометричним , тобто графіком руху чи кривою відстаней , (мал2).

Розглянутий спосіб визначення положення точки називається природнім. Таким чином , при природному способі задання руху точки повинні бути відомі:

А) траєкторія точки в вибраній системі відліку.

Б) початок і додатній напрямок відліку .

В) закон руху точки по даній траєкторії в вигляді рівняння S= f (t) чи графіка.

2. Координатний спосіб. Координатний спосіб задання руху точки відносно деякої системи відліку завжди може бути задане за допомогою визначеної сукупності чисел, координати . Найбільше поширення на практиці має просторова прямокутна система координат . Положення точки М відносно даної системи координат повністю визначається трьома координатами x,y,z ( мал. 3) . При русі точки М її координати змінюються з часом , і рівняння , що виражають функціональні залежності між координатними (x ,y ,z) точки і часом t її руху , називаються рівняннями руху точки в прямокутних координатах:

X = ( t)

y = ( t)

z = (t)

Плоский рух точки визначається двома рівняннями руху в прямокутній системі координат

X=

Y= ( t)

Якщо точка рухається по прямій то положення точки визначається однією координатою:

X=

2. Відношення шляху S пройденого точкою за деякий проміжок часу , до величини t цього проміжку представляє собою модуль V швидкості точки при її рівномірному русі:

V=

Нехай деяка точка рухається по криволінійній траєкторії АВ ( мал4) і в наступні моменти t і t+ вона займає відповідно положення М і М1 .

Вектор , що з’єднує положення точки в початковий проміжок часу цього цього проміжку називається вектором переміщення точки за цей час .

Якщо уявити , що точка М рухається не по дузі а по її хорді , і при цьому точка М рухається рівномірно , то швидкість такого уявного руху називається середнім , за проміжок часу вектором точки :

=

Вектор швидкості точки має напрям вектора її переміщення і по модулю рівний частковому від ділення модуля вектора переміщення точки не відповідний проміжок часу.

Вектор V швидкості точки в даний момент рівний границі до якої її середня швидкість при наближенні до нуля проміжку часу

V=

І спрямований по дотичній до траєкторії в сторону руху точки .

При прискореному способі завдання руху числове значення швидкості в даний момент часу рівне похідній від дугової координати по часу :

V=

Таким чином для визначення модуля швидкості точки по заданому рівнянню руху

S=f (t) в деякий момент часу t=T потрібно взяти похідну від функції S по часу t після чого в отриманий вираз похідної підставити замість аргумента t його значення t=T , яке відповідає моменту часу для якого визначається швидкість .

В прямокутних координатах проекція швидкості точки на нерухому координату вісь рівна першій похідній від відповідних координат рухомої точки по часу .

Модуль вектора швидкості:

V= +

Напрям вектора швидкості визначається направляючими координатами:

3. Величина , яка характеризує бистроту зміни вектора швидкості як по модулю , так і по напрямку , називається прискоренням .

Середнє прискорення точки, за даний проміжок часу , рівне відношенню вектора приросту швидкості точки за відповідний часу до цього проміжку

a

Прискорення а точки в даній момент часу t рівне границі , до якої прямує середнє прискорення a при наближенні до нуля проміжку часу при цьому напрям вектора а і , не співпрацюють

Прискорення вимірюється в м/ , ам/ м/ і тд.

Якщо рух точки задано природнім способом, вектор а прискорення точки зазвичай розлежується на складові спрямовані по дотичній і нормам до траєкторії точки.

Прискорення точки носить назву дотичної чи потенціального прискорення точки. Числове значення дотичного прискорення точки рівне похідній по часу від числового значення швидкості

Дотичне прискорення напрямлене до дотичної до кривої в даній точці , називається нормаллю до кривої в цій точці. Нормальне прискорення ( ) завжди спрямоване по нормалі в сторону вгнутості траєкторії , тобто до центру кривизни і рівне квадрату швидкості точки , поділеному на радіус кривизни траєкторії відповідній точці кривої .

Знаючи проекції вектора а на дві взаємно перпендикулярні вісі , легко знайти модуль і напрямок самого вектора а прискорення точки

a= = + ;

; ;

В прямокутній систем координат проекції прискорення точки на нерухомі координатні осі рівна першій похідній по часу від проекції швидкості точки на відповідні координатні осі чи другій похідній від відповідних координат точки по часу:

Модуль прискорення точки :

a=

Напрям вектора прискорення визначаэться по формулі:

; ;

4. Рівномірним рухом точки називається такий рух . при якому точка за любі рівні проміжки часу проходять однакову відстані:

Модуль швидкості точки в цьому русі Якщо в початковий момент точка знаходиться не спочатку відліку , а на деякій відстані від нього , то відстань точки від початкового відліку в момент часу t буде рівна

S = – закон рівномірного руху.

Ріномірним переміщеним рухом точки називається такий її рух , коли в рівні , довільно взяті проміжки часу , модуль швидкості точки змінюється на одну і ту ж величину .

Швидкість при рівномірному перемінному русі точки : S =