2.6.5. Обеспечение требуемой точности измерений

Многократное измерение одной и той же величины посто­янного размера позволяет обеспечить требуемую точность.Поскольку ширина доверительного интервала зависит от ко­личества экспериментальных данных, постольку, увеличивая и, можно добиться выполнения наперед заданного условия

Упрощенный алгоритм обработки экспериментальных данных в этом случае показан на рис. 39.

Пример 18. В табл. 12 приведены 10 независимых числовых значе­нии результата измерения линейного размера (в сантиметрах).

Таблица 12

i				i
1	392	0	0	6	396	4	16
2	391	-1	1	7	389	-3	9
3	395	3	9	8	389	-3	9
4	392	0	0	9	393	1	1
5	389	-3	9	10	394	2	4

Определить его длину, если с вероятностью 0,95 точность измерения

должна быть не ниже 2 = 2 см.

Решение. 1. Используя вспомогательные вычисления, сведенные в

табл. 12,получим

2. Больше чем на 3 = 7,5 от среднего арифметического не отли­чается ни одно из числовых значении результата измерения. Таким об­разом, следует признать, что ошибок нет.

3. Допустим, есть основание полагать, что результат измерения под­чиняется нормальному закону распределения вероятности

4. Стандартное отклонение среднего арифметического

5. При п = 10 и Р = 0,95 по графику на рис. 38 находим t = 2,3.

6. Так как

то необходимо увеличить количество экспериментальных данных (см. примечание на стр. 82).

7. Пусть , = 390. Тогда

8. Для проверки нормальности закона распределения вероятности результата измерения используем составной критерий. При п = 11 и лю­бой вероятности в табл. 11

и ни одно из числовых значений не отличается от 391,8 больше, чем на 2,5 = 6,2. Таким образом, результаты проверки не противо­речат гипотезе о том, что результат измерения подчиняется нормаль­ному закону распределения вероятности.

9. Стандартное отклонение среднего арифметического при n = 11

10. При п = 11 и Р = 0,95 t = 2,2.

Так как

то необходимо еще больше увеличить количество экспериментальных данных.

11. Результаты последующих действий приведены в табл. 13.

Таблица 13

n					t
12	392	391,8	2,37	0,68	2,2	1,5
13	391	391,8	2,29	0,63	2 2	1.4
14	395	392	2,35	0,63	2.1'5	1,35
IS	391	391,9	2,28	0,59	2,15	1,27
16	393	392	2.22	0,56	2,15	1,2
17	391	391,9	2,23	0?S4	2 1	1,13
18	394	392	2,16	0,51	2,1	1,07
19	392	392	2,15	0,49	2,1	1,04
20	392	392	2,14	0,48	2 1	1,01
21	391	392	2,13	0,47	2,1	0,98

Таким образом, потребовалось получить 21 числовое значение результата измерения для того, чтобы с вероятностью 0,95 установить, что1 == 391 . . . 393 см. Трудоемкость подобной работы требует автома­тизации измерений и обработки экспериментальных данных.

На практике беспредельно повышать таким способом точ­ность измерения не удается, так как рано или поздно опре­деляющим становится не рассеяние отсчета и, следовательно, показания средства измерений, а недостаток информации (выражающийся, например, в незнании точного значения поправок и т.п.). Накапливать экспериментальные данные и уменьшать за счет этого стандартное отклонение среднего арифметического значения показания имеет смысл лишь до тех пор, пока по критерию (10) им нельзя пренебречь по сравнению с аналогом среднего квадратического отклонения, учитывающим дефицит информации (рис. 40). Точность многократного измерения, следовательно, ограничивается дефицитом информации.

Пример 19. При каком количестве экспериментальных данных в примере 14 можно получить максимально возможную точность из­мерения?

Решение. 1. Для достижения максимальной точности количество экспериментальных данных нужно увеличивать до тех пор, когда по критерию (10) можно будет пренебречь _x по сравнению с u_. Из усло­вия

где _x = 2,0мм; u_ = 2,6мм, получим, что нужно _x уменьшить не ме­нее, чем в 2,3 раза.

2. Накопление экспериментальных данных позволит перейти к сред­нему арифметическому значению показания. Для того, чтобы его стан­дартное отклонение

оказалось не менее, чем в 2,3 раза меньше _x, нужно получить п > 2,3² = 5 независимых отсчетов (не считая ошибок).

3. Для достижения еще большей точности нужно провести ис­следования, направленные на уточнение температурной поправки, и уменьшить u_.