2.7.Многократное измерение с неравноточными значениями отсчета

При многократном измерении с неравноточными значе­ниями отсчета, подчиняющимися нормальному закону рас­пределения вероятности, функцию правдоподобия можно представить в виде

если все значения отсчета, полученные, например, с помощью разных средств измерений, являются независимыми. Для оценки среднего значения результата измерения удобнее пе­рейти к логарифму функции правдоподобия

где С от не зависит. Решая при уравнение

получим

Это так называемое среднее взвешенное, в числителе кото­рого отдельные значения результата измерения суммируют­ся с "весами", обратно пропорциональными их дисперсиям. Тем самым более точным значениям придается больший вес. Наличием суммы в знаменателе обеспечивается то, что в выражении

сумма всех весов

где нормированный вес каждого отдельного результата измерения

Математическое ожидание среднего взвешенного

М М

Таким образом, среднее взвешенное является несмещенной оценкой среднего значения результата измерения.

Дисперсия среднего взвешенного

Пример 20. Измерения образцовой меры длины, выполненные приборами разной точности, дали результаты, приведенные в табл. 14.

Таблица 14

Порядковый номер измерения	Отклонение от номинального размера, мкм
	Вертикаль­ный оптиметр		Машина ти­па Цейсс		Машина ти­па Сип		Миниметр с це­ной деления 1 мкм
1 2 3 4	11,3 - - -	10,8 11,1 10,9 -		9,8 10,7 - -		10,4 11,2 10,1 9,9

Известно, что результат измерения вертикальным оптиметром под­чиняется нормальному закону распределения вероятности со стан­дартным отклонением 0,4 мкм; при измерении машиной типа Цейсс — соответственно, 0,8 мкм; машиной типа Сип — 0,7 мкм; минимет­ром с ценой деления 1 мкм — 0,5 мкм. Каково отклонение размера от номинального значения?

Решение. Заменяя дисперсии в выражении для среднего взвешен­ного их оценками, имеем:

1 1 1

Поскольку все l_i подчиняются нормальному закону распределения вероятности, то нормальному закону подчиняется и их сумма. Поэ­тому с вероятностью Р = 0,95 -2S  l  +2S .Окончательно:

l = 10,3. . . 11мкм.

2.8. Обработка результатов нескольких серий измерений

Иногда многократное измерение одной и той же вели­чины постоянного размера производится в несколько эта­пов, разными людьми, в различных условиях, в разных мес­тах и в разное время. Результат такого измерения опреде­ляется несколькими сериями полученных значений, кото­рые в силу различных обстоятельств могут отличаться по своим статистическим характеристикам. Серии называются однородными, если состоят из значений, подчиняющихся одному и тому же закону распределения вероятности. В противном случае серии считаются неоднородными.

Проверка однородности является обязательной при выборе способа совместной обработки результатов несколь­ких серий измерений. Организуется она, обычно, на уровне эмпирических моментов: сравниваются между собой сред­ние арифметические и оценки дисперсий в каждой серии.

Различие между средними арифметическими и в двух разных сериях может быть случайным со средним значением, равным нулю, и дисперсией

Если экспериментальные данные в каждой серии подчиня­ются нормальному закону распределения вероятности, то при большом их числе (п_I,II > 40 . . . 50) нормальному зако­ну подчиняются и средние арифметические и и разность G = - При небольшом количестве эксперимен­тальных данных в каждой серии средние арифметические и подчиняются закону распределения вероятности Стьюдента, но их разность при п_I + п_II > 40 . . . 50 можно считать, что уже подчиняется нормальному закону. Поэ­тому, задавшись доверительной вероятностью Р и опреде­лив по верхней кривой на рис. 22 соответствующее ей значе­ние t, находят доверительные границы G ± t S_G , за преде­лами которых не может оказаться разность - , если она случайная и подчиняется нормальному закону распре­деления вероятности (см. рис. 41). При несоблюдении этого условия нужно искать причину расхождения между и , и в экспериментальные данные соответствующей серии вносить дополнительную поправку. Иногда большой массив экспериментальных данных (см. рис. 42) искусственно раз­бивают на две или большее количество серий для обнару­жения посредством такой проверки прогрессирующего влия­ния какого-нибудь фактора.

Помимо выяснения значимости расхождения между средними арифметическими, проверка однородности се­рий включает сравнение оценок их дисперсий. Серии с нез­начимым различием оценок дисперсий называются равно-рассеянными, с существенным различием — неравнорассеянными. Значимость различия оценок дисперсий в двух се­риях, результаты измерения в которых подчиняются нор­мальному закону распределения вероятности, проверяется в порядке, приведенном на рис. 43, где первоначальные операции совпадают с показанными на рис. 41 и поэтому при проверке однородности серий выполняются один раз.

В процессе вычислений образуется отношение, вероят­ность значений которого, больших единицы, если это число случайное, подчиняется распределению Р.А. Фишера. Поэто­му, выбрав значение интегральной функции распределения вероятности Р.А. Фишера равным вероятности Р, с которой принимается решение, можно проверить, больше или меньше ее аргумента _o вычисленное значение . Если   _o, то различие оценок дисперсий в сериях можно признать случай­ным и с выбранной вероятностью Р считать, что гипотеза о равнорассеянности серий не противоречит результатам ее проверки по критерию Р.А. Фишера. В противном случае эта гипотеза должна быть отвергнута. Значения аргумента интегральной функции распределения вероятности Р.А. Фи­шера приведены в табл. 15.

Равнорассеянные серии с незначимым различием между сре­дними арифметическими считаются однородными. Если входя­щие в них экспериментальные данные получены в одних и тех же условиях, это говорит о сходимости измерений, если в разных — о воспроизводимости. Под сходимостью понимается качество измерений, отражающее близость друг к другу результатов измерений, выполненных в оди­наковых условиях, под воспроизводимостью — в разных

Таблица 15

nII P							nI
	2	3	4	5	6	7	9	13	16	21	25	51	
2 0,90	39,9	49,5	53,6	55,8	57,2	58,2	59,4	60,7	61,2	61,7	62,0	62,7	63,3
0,95	161	200	216	225	230	234	239	244	246	248	249	252	254
3 0,90	8,53	9,00	9,16	9,24	9,29	9,33	9,37	9,41	9,42	9,44	9,45	9,47	9,49
0,95	18,5	19,0	19,2	19,2	19,3	19,3	19,4	19,4	19,4	19,4	19,5	19,5	19,5
0,99	98,5	99,0	99,2	99,2	99,3	99,3	99,4	99,4	99,4	99,4	99,5	99,5	99,5
4 0,90	5,54	5,46	5,39	5,34	5,31	5,28	5,25	5,22	5,20	5,18	5,18	5,15	5,13
0,95	10,1	9,55	9,28	9,28	9 10	8,94	8,85	8,74	8,70	8,66	8,64	8,58	8,53
0,99	34,1	30,8	29,5	28,7	28,2	27,9	27,5	27,1	26,9	26,7	26,6	26,4	26,1
5 0,90	4,54	4,32	4,19	4,11	4,05	4,01	3,95	3,90	3,87	3,84	3,83	3,80	3,76
0,95	7,71	6,94	6,59	6.39	6,26	6,16	6,04	5,91	5,86	5,80	5,77	5,70	5,63
0,99	21,2	18,0	16,7	16,0	15,5	15,2	14,8	14,4	14,2	14,0	13,9	13,7	13,5
6 0,90	4,06	3,78	3,62	3,52	3,45	3,40	3,34	3,27	3,24	3,21	3,19	3,15	3,10
0,95	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,62	4,56	4,53	4,44	4,36
0,99	16,3	13,3	12,1	11,4	11,0	10,7	10,3	9,89	9,72	9,55	9,47	9,24	9,02
7 0,90	3,78	3,46	3,29	3,18	3,11	3,05	2,98	2,90	2,87	2,84	2,82	2,77	2,72
0,95	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,00	3,94	3,87	3,84	3,75	3,67
0,99	13,7	10,9	9,78	9,15	8,75	8,47	8,10	7,72	7,56	7,40	7,31	7,09	6,88
9 0,90	3,46	3,11	2,92	2,81	2,73	2,67	2,59	2,50	2,46	2,42	2,40	2,35	2,29
0,95	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,22	3,15	3,12	3,02	2,93
0,99	11,3	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,03	5,67	5,52	5,36	5,28	5,07	4,86
13 0,90	3,18	2,81	2,61	2,48	2,39	2,33	2,24	2,15	2,10	2,06	2,04	1,97	1,90
0,95	4,75	3,89	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,69	2,62	2,54	2,51	240	2,30
0,99	9,33	6,93	5,95	5,41	5,06	4,82	4,50	4,16	4,01	3,86	3,78	3,57	3,36

Продолжение

nII P	nII
	2	3	4	5	6	7	9	13	16	21	25	51	
16 0,90	2,07	2,70	2,49	2,36	2,27	2,21	2,12	2,02	1,97	1,92	1,90	1,83	1,76
0,95	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2.79	2,64	2,48	2,40	2,33	2,29	2,18	2,07
0,99	8,68	6,36	5,42	4,89	4,56	4,32	4,00	3,67	3,52	3,37	3,29	3,08	2,87
21 0,90 0,95 0,99	2,97 4,35 8,10	3,59 3,49 5,85	2,38 3,10 4,94	2,25 2,87 4,43	2,16 2,71 4,10	2,09 2 60 3,87	2,00 2,45 3,56	1,89 2,28 3,23	1,84 2,20 3,09	1,79 2,12 2,94	1,77 2,08 2,86	1,69 1,97 2,64	1,61 1,84 2,42
25 0,90 0,95 0,99	2,93 4,26 7,82	2,54 3,40 5,61	2,33 3,01 4,72	2,19 2,78 4,22	2,10 2,62 3,90	2,04 2.51 3,67	1,94 2,36 3,36	1,83 2,18 3,03	1,78 2,11 2,89	1,73 2,03 2,74	1,70 1,98 2,66	1,62 1,86 2,44	1,53 1,73 2,21
51 0,90 0,95 0,99	2,79 4,00 7,08	2,39 3,15 4,98	2,18 2,76 4,13	2,04 2,53 3,65	1,95 2,37 3,34	1,87 2,25 3,12	1,77 2.10 2,82	1,66 1,92 2,50	1,60 1,84 2,35	1,54 1,75 2,20	1,51 1,70 2,12	1,41 1,56 1,88	1,29 1,39 1,60
 0,90 0,95 0,99	2,71 3,84 6,63	2,30 3,00 4,61	2,08 2,60 3,78	1 94 2,37 3,32	1,85 2,21 3,02	1,77 2,10 2,80	1,67 1,94 2,51	1,55 1,75 2,18	1,49 1,67 2,04	1,42 1,57 1,88	1,38 1,52 1,79	1,26 1,35 1,52	1,00 1,00 1,00

(в различных местах, в разное время, различными мето­дами и средствами). Если серии неоднородны (неравнорассеянные, или различие между средними арифметическими не может быть признано незначимым), об измерениях го­ворят, что они не сходятся (или не воспроизводятся).

Ценность измерительной информации вызывает стремле­ние использовать экспериментальный материал, содержа­щийся во всех сериях изменений. Экспериментальные дан­ные, входящие в однородные серии, можно рассматривать и обрабатывать как единый массив. Для сокращения вычис­лений при этом целесообразно использовать полученные ра­нее результаты:

где N = n_I +n_II

При обработке неравнорассеянных серий с незначимо различающимися средними арифметическими учитывается особая ценность измерений, выполненных с большей точ­ностью. Дисперсия (рассеяние) в таких сериях меньше. Для учета этого в оценку среднего значения всего массива экспе­риментальных данных включают средние арифметические серий с "весами", обратно пропорциональными оценкам их дисперсий:

Это уже знакомое по предыдущему разделу среднее взве­шенное. Стандартное отклонение среднего взвешенного

Порядок обработки экспериментальных данных Q_{I {1, . . . ,mj}} , входящих в j_n {1, . . . ,j}неравнорассеян­ных серий с незначимым различием средних арифмети­ческих, показан на рис. 44.

 Влияние неслучайных факторов принято сводить к систематической составляющей погрешности измерения. В 1981г. Международный комитет мер и весов рекомендовал отказаться от такого подхода и не использовать термин «систематическая составляющая погрешности».