Указания к задаче 11

Если упругую балку вывести из положения равновесия, а затем резко снять нагрузку, то под действием сил упругости, балка начнет совершать колебания из крайнего нижнего в крайнее верхнее положение (рис. 41). Такие колебания называются свободными колебаниями. Если же колебания системы вызываются действием периодической внешней силы, то такие колебания называются вынужденными.

Балку, к которой прикреплен груз, намного превышающий вес самой

Рисунок 41.

Рисунок 42.

балки, можно рассматривать как невесомую, пренебрегая ее собственным весом (рис. 42). В балке, показанной на рис. 42, положение любого поперечного сечения в любой момент времени можно определить, зная положение хотя бы одного поперечного сечения в начальный момент времени. Такая балка представляет собой систему с одной степенью свободы.

Уравнение свободных (собственных) колебаний системы с одной степенью свободы записывается следующим образом:

где   прогиб балки под грузом;

а – амплитуда свободных колебаний;

 – частота свободных колебаний системы, совершаемых за 2 сек;

t – время;

  начальная фаза колебаний.

Частота свободных колебаний системы определяется по формуле:

где g  ускорение свободного падения;

G – вес груза;

  перемещение от единичной силы.

Промежуток времени, за который система совершает одно свободное колебание, называется периодом свободных колебаний, который определяется по формуле:

Если на балку действует внешняя сила, изменяющаяся по закону , то система совершает вынужденные колебания, уравнение которых записывается в виде:

где   круговая частота возмущающей силы.

Амплитуда вынужденных колебаний системы определяется по формуле:

где  статический прогиб балки под действием возмущающей силы;

k_д – динамический коэффициент.

Статический прогиб балки от действия возмущающей силы определяется по формуле:

Динамический коэффициент определяется по формуле:

Динамические напряжения, вызванные периодической возмущающей силой, определяются по формуле:

где  напряжения, вызванные статическим действием силы F.

ПРИМЕР

На стальной балке, показанной на рис. 43, установлен электродвигатель весом G = 20 кН, совершающий n = 500 об/мин. Центробежная сила, возникающая вследствие неуравновешенности частей двигателя составляет F = =0,2G. Подобрать двутавровое поперечное сечение балки из условия отстройки от резонанса , определить максимальный прогиб и максимальные напряжения. Собственный вес балки не учитывается l = 1 м.