3. Нормальное распределение и его значение

Большинство случайных величин подчиняется определенному закону распределения, зная который можно предвидеть вероятности попадания исследуемой случайной величины в определенный интервал. Такое предсказание весьма желательно при анализе экономических показателей, ведь в этом случае появляется возможность осуществить продуманную политику с учетом возможности возникновения той или иной ситуации. Законов распределения достаточно много, поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь тех законов, которые наиболее активно встречаются в экономической теории, особенно в эконометрике.

Одним из наиболее часто встречающихся распределений является нормальное распределение (его еще называют распределением Лапласа-Гаусса, или просто распределением Гаусса.). Оно играет огромную роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Плотность нормального распределения имеет вид

, (2.18)

а функция нормального распределения имеет вид

. (2.19)

Если a=0, =1, то получим

, (2.20)

(2.21)

стандартное нормальное распределение. Эту функцию можно записать в виде

,

где

(2.22)

есть функция Лапласа.

Между произвольной функцией нормального распределения и стандартным распределением (соответственно и функцией Лапласа) существует взаимосвязь:

. (2.23)

Для плотности нормального распределения имеем

. (2.24)

Для плотности стандартного нормального распределения (x) и функции Лапласа F(x) существуют обширные таблицы. Однако здесь нужно иметь в виду, что иногда вместо рассмотренных функций используют функци.

.

Отметим, что для нормального распределения

M[X] = a, D[X] = ²,

т.е. нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: a, имеющим смысл математического ожидания, и , имеющим смысл среднего квадратичного отклонения.

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (, ), имеет вид

. (2.25)

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , равна

. (2.26)

В частности, если 3, то

P(|X–a|<3) = 2(3) = 0,9973.

Это равенство показывает, что во многих практических вопросах при рассмотрении нормального распределения можно пренебречь возможностью отклонения случайной величины от a больше, чем 3 Это есть т.н. правило «трех сигм».

Например, каждому кто занимался измерениями, встречался с ситуацией, когда появляется «дикое значение». В связи с этим возникает проблема: исключать это значение или его следует оставить. Так, при разработке норматива времени для изготовления одной детали проделали следующие измерения: 5,0; 4,8; 5,2; 5,3; 5,0; 6,1. Последнее число сильно отличается от других. В связи с этим возникает вопрос, не скрыта ли здесь ошибка в измерениях. Вычислим среднее значение и среднее квадратичное отклонение =0,46. После этого построим «трехсигмовый» интервал: (4,84; 6,61). Поскольку значение x=6,1 не выходит за пределы трехсигмовой зоны, то его нельзя считать «диким».

Пример 2.12. Рост мужчин определенной возрастной категории описывается нормальным закон распределения с математическим ожиданием a=165 см и средним квадратичным отклонением =5 см. Какую долю костюмов 3-го роста (170-176 см) следует предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной категории?

Решение. Пусть X – рост в сантиметрах представителя данной возрастной категории. Тогда по формуле (2.46), где =170 см и =176 см, находим

.

Далее, по таблицам для функции Лапласа, находим

и .

Отметим, что функция Лапласа является нечетной функцией, т.е. . В результате получаем

,

т.е. доля костюмов 3-го роста должна составлять приблизительно 14,5% общего объема производства для данной категории мужчин. 

Пример 2.13. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Вес коробки – нормально распределенная случайная величина. Известно, что их средний вес равен 540 г, а также что 5% коробок имеют вес, меньший 500 г. Каков процент коробок, вес которых отличается от среднего не более чем на 30 г по абсолютной величине?

Решение. Пусть X – вес коробки, имеющий нормальное распределение с известным параметром a=540 неизвестным параметром . Среднее квадратичное отклонение  найдем из условия . Поскольку X – нормально распределенная величина, то

.

В результате получаем

.

Тогда

.

Таким образом, приблизительно у 78% коробок вес отличается от среднего значения 540 г не более чем на 30 г. 

Отметим еще одно важное свойство нормального распределения: линейная комбинация произвольного числа нормальных случайных величин имеет нормальное распределение. При этом, если и – независимые случайные величины, то , где и .

При изучении теории вероятностей приходится использовать понятия случайного события и случайной величины. При этом нельзя уверенно заранее предсказать результат испытания, в котором может появиться или не появится то или иное событие. Однако при неоднократном повторении испытаний могут наблюдаться определенные закономерности. Суть этих закономерностей заключается в свойстве устойчивости: некоторые характеристики случайных событий и случайных величин при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Например, любой газ состоит из огромного числа молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении (броуновском движении). Про каждую отдельную молекулу нельзя сказать, с какой скоростью она будет двигаться и в каком направлении. Однако основные характеристики газа – давление, температура, вязкость и др. – определяются не замысловатым поведением одной молекулы, а их совокупным действием. Так, давление газа равно суммарному воздействию молекул, ударившихся о пластину единичной площади в единицу времени. Число ударов и скорости ударившихся молекул меняются от случая к случаю, однако в силу «закона больших чисел» давление – величина постоянная, что подтверждается в физических экспериментах с очень большой точностью.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к неслучайному результату. Эти условия указываются в теоремах, носящих название предельных. По смыслу их можно разбить на две группы, одна из которых называется законом больших чисел, а другая – центральной предельной теоремой.

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел – это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным величинам. Другими словами, закон больших чисел – это общий принцип, в силу которого совместное действие случайных факторов приводит, при весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая и может быть предсказан с большой долей определенности.

Существует много различных теорем, относящихся к группе теорем, носящих название «закона больших чисел». Наиболее важная из них – это теорема Чебышева:

При неограниченном увеличении числа n независимых испытаний «средняя арифметическая наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию»¹, т.е. для любого положительного 

. (2.27)

Выражение (2.27), т.е. «сходимость по вероятности», мы также будем обозначать следующим образом

Итак, хотя отдельные значения случайной величины могут принимать значения, далекие от математического ожидания, средняя арифметическая наблюдаемых значений этой случайной величины с возрастанием n с вероятностью, близкой к 1, принимает значения, близкие к постоянному числу, равному математическому ожиданию.

Из теоремы Чебышева вытекает весьма важный практический вывод. Он состоит в том, что неизвестное нам значение математического ожидания случайной величины мы вправе заменить средним арифметическим значением, полученным по достаточно большому числу опытов. При этом, чем больше проведено опытов для вычисления, тем с большей вероятностью (надежностью) можно ожидать, что связанная с этой заменой ошибка не превзойдет заданную величину . Отметим, что закон больших чисел является обоснованием выборочного метода, являющегося одним из основным методов статистики.

Теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определенным предельным значениям, независимо от их закона распределения. Другая группа теорем, относящихся к центральной предельной теореме, устанавливают связь между законом распределения суммы случайных величин и нормальным распределением. Суть центральной предельной теоремы заключается в следующем:

Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Исключительная важность центральной предельной теоремы объясняется тем, что она дает теоретическое объяснение следующему, многократно подтвержденному практикой, наблюдению: если исход случайного эксперимента определяется большим числом случайных факторов, влияние каждого из которых пренебрежимо мало, то такой эксперимент хорошо аппроксимируется нормальным распределением с соответствующим образом подобранными математическим ожиданием и дисперсией.

Центральная предельная теорема имеет огромное практическое значение, поскольку многие случайные величины можно рассматривать как сумму отдельных независимых слагаемых. Например, ошибки различных измерений, отклонения размеров деталей, изготовляемых при неизменном технологическом режиме, распределение числа продаж некоторого товара, объемов прибыли от реализации однородного товара различными производителями, валютные курсы, рост, вес животных и растений данного вида, отклонения точки падения снаряда от цели и т.д. могут рассматриваться как суммарный результат большого числа слагаемых и потому приближенно следовать нормальному закону распределения.

Приведем две простейшие теоремы, относящиеся к центральным предельным теоремам. Пусть {X_n} – последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожидания M[X_i]=a_i и дисперсии D[X_i]=_i². Введем обозначение .

Теорема Ляпунова. Если для последовательности взаимно независимых случайных величин {X_n} выполняется условие (условие Ляпунова):

, (2.28)

то для функции распределения F_n(x) нормированной суммы

(2.29)

имеет место равенство

.

Более простой вид имеет следующая теорема.

Теорема Леви-Линдеберга. Если независимые случайные величины {X_n} имеют одинаковые функции распределения, где M[X_i]=a, D[X_i]=², то функция F_n(x) нормированной суммы:

(2.30)

имеет место равенство

.