Контрольные вопросы первого уровня

1. Чему равна работа по перемещению заряда в электрическом поле по замкнутой траектории?

2. Что называется потенциальным полем? Консервативными силами?

3. Что называется циркуляцией напряженности? Каково условие потенциальности электростатического поля?

4. Что называется потенциалом? В чем измеряется? Что называется разностью потенциалов?

5. Чему равен потенциал точечного заряда на бесконечности?

6. Чему равна потенциальная энергия системы двух зарядов?

7. Что называется эквипотенциальными поверхностями? Как они выглядят для точечного заряда?

8. Доказать ортогональность линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей.

9. Какова связь между напряженностью поля и потенциалом?

10. Чему равны разность потенциалов между двумя точками вне сферической поверхности?

Цель: Расчет электростатических полей с помощью потенциала.

Основные формулы

Разность потенциалов между двумя точками электрического поля определяется работой, которую надо совершить, чтобы единицу положительного заряда принести из одной точки в другую:

U .

Потенциал поля точечного заряда

где r- расстояние от заряда.

Напряженность и потенциал электрического поля связаны соотношением

В случае однородного поля плоского конденсатора напряженность

где U-разность потенциалов между пластинами конденсатора, d- расстояние между ними.

Примеры решения задач

Задача 1. Шарик массой m = 40мг, имеющий положительный заряд q=1нКл, движется со скоростью v = 10 см/с. На какое расстояние r может приблизиться шарик к положительному точечному заряду q₀ = 1,33нКл?

Решение. Если в поле неподвижного заряда q₁ происходит медленное перемещение заряда q₂ из точки В в точку С, то работа сил поля

.

Если , то r_C = r₁₂ и (т.е. появился знак «минус»). Работа консервативных сил электрического поля равна убыли потенциальной энергии системы заряженных тел, т.е. A = -(U₁₂ - U_∞). Поэтому полагая энергию взаимодействия бесконечно удалённых зарядов равной нулю, получим для потенциальной энергии взаимодействия системы двух зарядов Во время движения шарика его кинетическая энергия , при приближении к заряду q₂ на предельное расстояние r₁₂ кинетическая энергия W_k2 = 0. Работа ; A = .

Таким образом, , откуда ; r₁₂=r=6см.

Задача 2. Тонкое кольцо радиуса R имеет заряд q, неравномерно распределённый по кольцу. Найти работу электрических сил при перемещении точечного заряда q₁ из центра кольца по произвольному пути в точку, находящуюся на оси кольца на расстоянии l от его центра.

Решение:. Поскольку центр кольца равноудалён от всех точек на кольце, то независимо от распределения заряда по кольцу, потенциал его центра равен

.

Потенциал точки, лежащей на оси кольца, в свою очередь равен

.

Работа по перемещению заряда равна A = q₁(φ₁ - φ₂).

Следовательно, работа по перемещению заряда равна

.

Задача 3. Заряд q равномерно распределён по объёму шара радиуса R. Полагая диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти потенциал:

а) в центре шара;

б) внутри шара, как функцию расстояния r от его центра.

Решение. Воспользуемся тем, что потенциал равен работе электростатических сил при переносе единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность. Электрическое поле внутри шара равно: . Поле вне шара определяется формулой: . Потенциал в точке, расположенной на расстоянии r от центра шара, равен:

.

Интегрирование приводит к ответу:

.

Отсюда потенциал в центре шара равен .

Ответ: а) ; б) .

Задача 4. Потенциал электрического поля имеет вид , где α− постоянная. Найти проекцию напряжённости электрического поля в точке М на направление вектора = .

Решение. Проекции напряжённости поля найдём с помощью формулы , связывающей напряженность и потенциал

E_x = -αy, E_e = -αx, E_z = 2αz.

Проекция Е_a напряжённости на направление вектора может быть выражена через скалярное произведение: E_a=( / a) (модуль вектора равен 10). Отсюда находим искомую проекцию: .

Подстановка координат точки М приводит к окончательному ответу

Ответ: .

Задача 5. Электрон со скоростью v =1,83 м/с влетел в однородное электрическое поле в направлении, противоположном вектору напряженности поля. Какую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы обладать энергией Е_i= 13,6 эВ? (Обладая такой энергией, электрон при столкновении с атомом водорода может ионизировать его. Энергия 13,6 эВ называется энергией ионизации водорода.)

Решение: Электрон должен пройти такую разность потенциалов U, чтобы приобретенная при этом энергия W_p в сумме с кинетической W_k, которой обладал электрон перед вхождением в поле, составила энергию, равную энергии ионизации E_i, т.е. W_p+W_k=E_i. Выразив в этой формуле W_p=eU и W_k=mv²/2, получим eU+mv²=E_i. Отсюда U=(2E_i – mv²)/2e = 4,15 В.

Задача 6. Покажите, что напряжение пробоя для сферического проводника в воздухе пропорционально радиусу сферы и рассчитайте напряжение пробоя в воздухе для сферы диаметром 1,0 см.

Решение: Во многих установках используют очень высокие напряжения. Проблема, связанная с этим, заключается в том, что поля больших напряженностей могут ионизовать воздух — электрическое поле вырывает электроны из атомов кислорода и азота. Воздух становится проводящим, и это препятствует поддержанию высокого напряжения из-за утечки заряда. Электрический пробой воздуха наступает при напряженности поля ~3 В/м.

Электрический потенциал поверхности сферического проводника равен φ=q/4πε₀R_, а напряженность поля вблизи поверхности равна E=q/4πε₀R². Отсюда U=RE (вблизи поверхности сферического проводника). При R=0,5 cм=5 м напряжение пробоя в воздухе составит U=(5 =15000 В.

Из этого примера ясно, почему выводы установок высокого напряжения делают большими. Понятно также, почему пробой (искрение) возникает на шероховатостях и остриях (области малого радиуса кривизны) и почему обычно проводники стараются делать как можно более гладкими.

Выводы: Потенциал является энергетической характеристикой и наравне с напряженностью используется для описания электрического поля. Следует учитывать, что потенциал – алгебраическая величина, т.е. он может быть как положительным, так и отрицательным.

Контрольные вопросы второго уровня (сборник задач)

1. Точечный заряд q=10 нКл, находясь в некоторой точке поля, обладает потенциальной энергией W_p=10 мкДж. Найти потенциал φ этой точки поля. [1 кВ]

2. Поле создано точечным зарядом q=1 нКл. Определить потенциал φ поля в точке, удаленной от заряда на расстояние r =20 см. [45 В]

3. Определить потенциал φ электрического поля в точке, удаленной от зарядов q₁= - 0,2 мкКл и q₂= 0,5 мкКл соответственно на r₁=15 см и r₂=25 см.[6 кВ]

4. Заряды q₁=1 мкКл и q₂= - 1 мкКл находятся на расстоянии d=10 см. Определить напряженность Е и потенциал φ поля в точке, удаленной на расстояние r =10 см от первого заряда и лежащей на линии, проходящей через первый заряд перпендикулярно направлению от q₁ к q₂. [664 кВ/м; 26,4 кВ]

5. Металлический шар радиусом r = 5 см несет заряд q = 1 нКл. Шар окружен слоем эбонита толщиной d=2 см. Вычислите потенциал электрического поля на расстоянии: 1)r₁ = 3 см; 2)r₂=6 см; 3)r₃=9 см от центра шара. Постройте график зависимости φ от r. [146 В; 136 В; 100 В]

6. Металлический шар радиусом R = 10 см заряжен до потенциала φ₁= 300 В. Какой потенциал будет иметь этот шар, если его окружить сферической проводящей заземленной оболочкой радиусом r=15 см? [100 В]

7. При перемещении заряда q=20 нКл между двумя точками поля внешними силами была совершена работа А= 4 мкДж. Определить работу А₁ сил поля и разность Δφ потенциалов этих точек поля. [- 4 мкДж; 200 В]

8. Положительные заряды q₁= 3 мкКл и q₂= 20 нКл находятся в вакууме на расстоянии 1,5 м друг от друга. Определите работу, которую нужно совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния 1 м. [0,18 мДж]

9. Тонкий стержень согнут в полукольцо. Стержень заряжен с линейной плотностью τ= 133 нКл/м. Какую работу надо совершить, чтобы перевести заряд q = 6,7 нКл из центра полукольца в бесконечность? [25,2 мкДж)

10. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R = 10 см и заряжен с линейной плотностью τ = 300 нКл/м. Какую работу надо совершить, чтобы перенести заряд q= 5 нКл из центра кольца в точку А, расположенную на оси кольца на расстоянии l = 20 см от его центра? [47 мДж]

11. Найдите потенциальную энергию системы трех точечных зарядов q₁ = -10 нКл, q₂ = 20 нКл и q₃ = -30 нКл, расположенных в вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 5 см. [18 мкДж]

12. Определите потенциальную энергию системы четырех точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной a=10 см. Заряды одинаковы по абсолютной величине q= 10 нКл, но два из них отрицательны. Рассмотреть два возможных случая расположения зарядов. [12,7 мкДж; -12,7 мкДж]

13. Заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью σ = 10 нКл/м². Разность потенциалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от нее на некоторое расстояние а, составляет Δφ = 56,6 В. Определите это расстояние. [10 см]

14. Две параллельные заряженные плоскости, поверхностные плотности заряда которых σ₁ = 2 мкКл/м² и σ₂ = -0,8 мкКл/м², находятся на расстоянии d =0,6 см друг от друга. Определите разность потенциалов U между плоскостями. [9,5 кВ]

15. Поле образовано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда σ = 40 нКл/м². Определите разность потенциалов U двух точек поля, отстоящих от плоскости на r₁ = 15 см и r₃ = 20 см. [113 В]

16. Поле образовано точечным диполем с электрическим моментом p = 200 нКл м. Определите разность потенциалов U двух точек поля, расположенных симметрично относительно диполя на его оси на расстоянии r =40 см от центра диполя. [22,5 кВ]

17. Электрическое поле образовано бесконечно длинной заряженной нитью, линейная плотность заряда которой τ = 20 нКл/м. Определите разность потенциалов U двух точек поля, отстоящих от нити на расстояния r₁ = 8 см и r₂= 12 см. [146 В]

18. Тонкая квадратная рамка равномерно заряжена с линейной плотностью заряда τ = 200 пКл/м. Определите потенциал φ поля в точке пересечения диагоналей. [12,7 В]

19. Пылинка массой m = 200 нг, несущая на себе заряд q = 40 нКл, влетела в электрическое поле в направлении силовых линий. После прохождения разности потенциалов U = 200 В пылинка имела скорость 10 м/с. Определите скорость пылинки до того, как она влетела в поле. [4,5 м/с]

20. Электрон, обладавший кинетической энергией 10 эВ, влетел в однородное электрическое поле в направлении силовых линий поля. Какой скоростью будет обладать электрон, пройдя в этом поле разность потенциалов U= 8 В? [0,84 Мм/с]

21. Электрон с энергией 400 эВ (в бесконечности) движется вдоль силовой линии по направлению к поверхности металлической заряженной сферы радиусом R=10 см. Определите минимальное расстояние а, на которое приблизится электрон к поверхности сферы, если заряд ее q = -10 нКл. [0,225 м]

22. Ион атома лития Li⁺ прошел разность потенциалов U₁ = 400 В, ион атома натрия Na⁺ — разность потенциалов U₂ = 300 В. Найдите отношение скоростей этих ионов. [2,1]

23. Бесконечная плоскость заряжена отрицательно с поверхностной плотностью σ = 35,4 нКл/м². По направлению силовой линии поля, созданного плоскостью, летит электрон. Определите минимальное расстояние, на которое может подойти к плоскости электрон, если на расстоянии l = 5 см он имел кинетическую энергию 80 эВ. [1 см]

24. Электрон влетел в плоский конденсатор, находясь на одинаковом расстоянии от каждой пластины и имея скорость 10 Мм/с, направленную параллельно пластинам. Расстояние между пластинами d = 2 см, разность потенциалов, приложенная к пластинам, U=22,5 В. Какую наименьшую длину должны иметь пластины, чтобы электрон не вылетел из конденсатора? [10 см]

25. Бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда σ = -2 нКл/м². Определите численное значение и направление градиента потенциала электрического поля, созданного этой плоскостью. [113 В/м]

26. Электрическое поле создано положительным точечным зарядом. Потенциал поля в точке, удаленной от заряда на r = 6 см, φ = 12 В. Определите величину и направление градиента потенциала в этой точке. [200 В/м]

27. Бесконечная тонкая прямая нить несет равномерно распределенный по длине нити заряд τ = -2 нКл/м. Каков градиент потенциала в точке, удаленной на расстояние r =10 см от нити? Укажите направление градиента потенциала. [360 В/м[

28. Может ли электростатическое поле иметь вид

где и орт-векторы вдоль соответствующих осей координат? [Нет; указание: найдите циркуляцию Е по произвольному контуру]

29. Электростатическое поле имеет вид . Является ли это поле однородным? Найдите потенциал этого поля φ(r). [Да; φ=-(2x+3y+4z)]

30. Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид φ=-(2x²+3y+4z). Найдите напряженность поля и ее модуль. Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности? [ =-(x +y ) ; E=4 ]