2.3. Вывод общего уравнения динамики системы регулирования

1. Вывод уравнения динамики регулятора

Для вывода уравнения динамики регулятора воспользуемся полученными выше уравнениями для всех элементов, входящих в регулятор (чувствительный элемент, задающее устройство, сумматор, исполнительный механизм, и гибкая обратная связь).

Подставим выражения (2.5) и (2.7) в уравнение (2.8):

.

(2.9)

Для уменьшения порядка проектируемой системы регулирования, в уравнении (2.2.3) пренебрежем постоянной времени Т_М, которая определяет инерционные свойства ЧЭ. Такое пренебрежение допустимо, в связи с тем, что рассматриваемый регулятор является регулятором непрямого действия, и габариты и массы грузов центробежных измерителей сравнительно невелики. Учитывая это, приравняем постоянную времени Т_М нулю. Новое упрощенное уравнение чувствительного элемента будет иметь вид:

.

(2.10)

Подставив общее выражение (2.9) для сумматора, задающего устройства и ГОС в (2.10), после несложных преобразований получим новое уравнение динамики измерительного устройства:

.

(2.11)

Из уравнения (2.5) определим:

,

(2.12)

а из (2.4) –

.

(2.13)

Подставим выражения (2.12) и (2.13) в равенство (2.8), получим общее уравнение ИМ, ГОС и связывающего их сумматора:

.

(2.14)

Подстановка выражения (2.14) в уравнение (2.11) приводит результату:

.

(2.15)

Преобразовав который, получим уравнение динамики регулятора рассматриваемой схемы в виде:

(2.16)

Дифференциальное уравнение регулятора (2.16) может быть представлено с помощью передаточных функций как

,

(2.17)

где

,	(2.18)
	(2.19)

- передаточные функции собственно регулятора соответственно по каналам регулируемого параметра n_р и задания скоростного режима n_ЗАД.

2.3.2. Вывод уравнения динамики разомкнутой системы регулирования

Запишем уравнение (2.6) в виде и, подставив его в уравнение (2.16) получим:

(2.20)

Проведя преобразование и подставив уравнение привода регулятора (2.2) в (2.20), получим:

(2.20)

Из уравнения (2.1) запишем:

(2.21)

Подставив уравнение (2.21) в уравнение (2.20) и проведя преобразования, получим уравнение динамики автоматической системы регулирования разомкнутого контура:

	(2.22)
	(2.23)

Представим уравнение динамики (2.23) разомкнутой САР в целом с помощью передаточных функций в виде:

,

(2.24)

где

;	(2.25)
;	(2.26)
.	(2.27)

2.3.3. Вывод уравнения динамики замкнутой системы регулирования

Для вывода уравнения динамики замкнутой системы из уравнения (2.1) запишем:

(2.28)

Подставив уравнение (2.28) в уравнение (2.20) и проведя преобразования, при условии замыкания системы ∆h_ТН = ∆h_ПР, получим уравнение динамики автоматической системы регулирования замкнутого контура:

	(2.29)
	(2.30)

Представим уравнение динамики (2.30) замкнутой САР в целом с помощью передаточных функций в виде:

,

(2.31)

где

;	(2.32)
.	(2.33)

При условии, что , уравнение (2.30) динамики системы автоматического регулирования порождает уравнение статического равновесия, которое имеет вид:

.

(2.34)

В условиях постоянства задания n_ЗАД скоростного режима, когда ∆n_ЗАД (при работе на одной и той же регуляторной характеристике системы), с изменением внешнего возмущающего воздействия статическая ошибка .

Если , т.е. при работе на одной и той же винтовой характеристике, с изменением заданного скоростного режима получим изменение в частоте вращения вала

.

(2.35)

Коэффициенты функциональных элементов регулятора приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Коэффициенты функциональных элементов регулятора

Функциональный элемент	Значения коэффициентов
Чувствительный элемент	с; мм/(мин-1); мм/м
Исполнительный механизм	с; инд/мм
ГОС	мм/инд
Задающее устройство	мм/инд
Привод ТНВД
Привод регулятора	iр = 8,5

2.3.4. Статика замкнутой системы регулирования частоты вращения

При построении статических характеристик САР воспользуемся следующими обозначениями:

h_пр – предельный индекс подачи топлива, определённый конструктивными возможностями ТНВД;

h_огр – ограничительный индекс подачи топлива, назначаемый для ограничения мощности, развиваемой двигателем, и предотвращения таким образом его тепловых перегрузок, составляет по рекомендациям фирм-производителей;

h_ном – номинальное значение индекса подачи топлива;

h₀ – индекс подачи топлива на исходном установившемся режиме работы двигателя, определяющий его текущую характеристику эффективной мощности;

h_хх – индекс подачи топлива при работе двигателя на холостом ходу, т. е. без нагрузки.

Рис. 2.3.1. Статическая характеристика регулятора при фиксированном значении его задания n = 115 мин^-1

Далее построим скоростные статические характеристики автоматизированного пропульсивного комплекса судна.

Рис. 2.3.2. Статические скоростные характеристики мощности автоматизированного пропульсивного комплекса судна

2.4. Моделирование. Выбор оптимальных параметров настройки регулятора

В соответствии с функциональной схемой контура автоматического регулирования частоты вращения вала ГД (рис. 2.2.1), разработаем модель.

В модели САР присутствуют следующие элементы:

• объект регулирования;

• чувствительный элемент;

• исполнительный механизм;

• гибкая обратная связь;

• задающее устройство;

• в канале передачи управляющего воздействия учитывается люфт σ_л = 0,05.

В качестве исходного режима САР выберем n = 115 мин^-1, что соответствует 75 % нагрузке двигателя. Длительность моделирования зададим 20 с.

Математическая модель исследуемой САР разработана в пакете MATLAB Simulink и представлена в приложении Б.

Проведем модельное исследование. Модельное исследование заключается в подборе оптимального времени изодрома T_И. Критерием оптимизации является минимальный динамический заброс и время регулирования. Оптимизацию будем производить раздельным перебором значений параметра T_И.

Изменим задание на регулятор с n = 115 мин^-1 до n = 127 мин^-1 за время 3 с. Что соответствует смещению регуляторной характеристики параллельно вправо (рис. 2.4.1). Получим переходные процессы на рис. 2.4.2.

Изменим задание на регулятор n = 115 мин^-1 до n = 101 мин^-1 за 3 с. Что соответствует смещению регуляторной характеристики параллельно влево (рис. 2.4.3). Получим переходные процессы на рис. 2.4.4.

Рис. 2.4.1. Смещение регуляторной характеристики при увеличении задания с n = 115 мин^-1 до n = 127 мин^-1 при работе по номинальной винтовой характеристике: с_н = 0,0035 кВт/(мин^-1)³; h₃ = 6,1; h_н = 8

Рис. 2.4.2 Переходные процессы при увеличении задания с n = 115 мин^-1 до

n = 127 мин^-1 при работе по номинальной винтовой характеристике: T_И1 = 1 с; T_И2 = 3 с; T_И3 = 5 с

Рис. 2.4.3. Смещение регуляторной характеристики при уменьшении задания с n = 115 мин^-1 до n = 101 мин^-1 при работе по номинальной винтовой характеристике: с_н = 0,0035 кВт/(мин^-1)³; h₃ = 6,1; h₂ = 4,7

Рис. 2.4.4. Переходные процессы при уменьшении задания с n = 115 мин^-1 до n = 101 мин^-1 при работе по номинальной винтовой характеристике: T_И1 = 1 с; T_И2 = 3 с; T_И3 = 5 с

Промоделируем увеличение нагрузки на двигатель со стороны винта, увеличим с от с = 0,0035 кВт/(мин^-1)³ до с = 0,0042 кВт/(мин^-1)³, что соответствует смещению винтовой характеристики в область «тяжелого» винта. При этом регулятор увеличит топливоподачу и установившийся режим наступит при n = 115 мин^-1 (рис. 2.4.5). Получим переходные процессы на рис. 2.4.6.

Промоделируем уменьшение нагрузки на двигатель со стороны винта, уменьшим с от с = 0,0035 кВт/(мин^-1)³ до с = 0,0028 кВт/(мин^-1)³, что соответствует смещению винтовой характеристики в область «легкого» винта. При этом регулятор уменьшит топливоподачу и установившийся режим наступит при n = 115 мин^-1 (рис. 2.4.7). Получим переходные процессы на рис. 2.4.8.

Рис. 2.4.5. Смещение винтовой характеристики в область «тяжелого» винта при увеличении нагрузки: с_н = 0,0035 кВт/(мин^-1)³; с_Т1 = 0,0042 кВт/(мин^-1)³; h₁ = 6,1; h₂ = 6,5

Рис. 2.4.6. Переходные процессы при смещении винтовой характеристики в область «тяжелого» винта: T_И1 = 1 с; T_И2 = 3 с; T_И3 = 5 с

Рис. 2.4.7. Смещение винтовой характеристики в область «легкого» винта при увеличении нагрузки: с_н = 0,0035 кВт/(мин^-1)³; с_Т1 = 0,0042 кВт/(мин^-1)³; h₁ = 6,1; h₂ = 5,8

Рис. 2.4.8. Переходные процессы при смещении винтовой характеристики в область «легкого» винта: T_И1 = 1 с; T_И2 = 3 с; T_И3 = 5 с

Показатели качества переходных процессов приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2 – Показатели качества переходных процессов

	Время изодрома	Динамический заброс, %	Колебательность, %	Нестабильность, %	Время регулирования, c
Увеличение задания	1	1,4	21,1	1,3	7,9
	3	1,1	21,4		7,5
	5	0,9	18,2		10,6
Уменьшение задания	1	1,9	10,4	1,6	11,1
	3	1,3	7,8		10,9
	5	1	10		11,2
Увеличение нагрузки	1	3	14,7	1,3	7,8
	3	3	14,7		7,1
	5	3	11,8		5
Уменьшение нагрузки	1	3	14,7	1,3	7,8
	3	3	14,7		7,1
	5	3	17,6		5

Согласно полученным переходным процессам наилучшими показателями качества обладает переходной процесс при T_И = 3 с.