6.2 Завдання на підготовку до лабораторної роботи
Для виконання лабораторної роботи та пояснення результатів експериментів необхідно пропрацювати загальні відомості до даної лабораторної роботи та такі питання:
- Методи графічної обробки результатів вимірювання.
- Вибір системи координат при побудові графіків.
- Методи підбору емпіричних формул.
6.3 Контрольні питання
6.3.1 Які вимірювання дозволяють створити емпіричну формулу?
6.3.2 В яких межах можна користуватись емпіричними формулами?
6.3.3 Вказати сутність етапів при підборі емпіричної формули.
6.3.4 На якому положенні базується метод середніх квадратів?
6.3.5 Описати сутність операцій при застосуванні методу середніх квадратів.
6.3.6 Описати технологію застосування методу середніх квадратів при використанні вирівнювання кривих.
6.4 Матеріали і устаткування
Результати сумісних вимірювань для виконання лабораторної роботи студенти отримують у викладача.
6.5 Вказівки з техніки безпеки
Роботу виконують з дозволу викладача у відповідності з інструкціями із ТБ (додаток А).
6.6. Порядок виконання лабораторної роботи
Ознайомитись з методом середніх квадратів. Підібрати емпіричну формулу до отриманих експериментальних даних, перевірити її правильність методом підстановки.
6.7 Зміст звіту
Мета роботи, загальні відомості. Аналіз отриманих результатів. Висновки.
6.8 Література
Крутов В.И. Основы научных исследований [Текст]: Учеб. для техн. вузов / В.И. Крутов, И.М. Грушко, В.В. Попов и др. Под ред. В.И. Крутова, В.В. Попова.– М.: Высш. шк., 1989. – С. 291-303.
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №7 ДОСЛІДЖУВАННЯ АДЕКВАТНОСТІ МОДЕЛЕЙ ТА ІСТОТНОСТІ КОЕФІЦІЄНТІВ АПРОКСИМАЦІЙНОЇ ФУНКЦІЇ
Мета роботи: опанувати застосування методик для оцінювання адекватності математичних залежностей.
7.1 Загальні відомості
Адекватність апроксимаційної моделі означає її згідність із отриманими результатами вимірювань. Для перевірки такої згідності використовують певні критерії, які встановлюють ще до виконання вимірювального експерименту й опрацювання його результатів.
Кажуть,
що модель є відповідною, чи адекватною,
якщо
похибкою моделі чи апроксимації можна
знехтувати або вона не перевищує заданого
допустимого значення
(7.1)
Очевидно,
що за умови певної допустимої похибки
апроксимації існує не одна, а загалом
безліч адекватних моделей функціональної
залежності чи апроксимаційних функцій.
Вони можуть відрізнятися як за виглядом,
так і за кількістю своїх членів, а також
отримуваними в результаті розрахунку
значеннями коефіцієнтів
.
Практично
всі критерії адекватності вибраної
апроксимуючої функції ґрунтуються на
аналізі певної функції відхилень
експериментальних точок уi
(результату вимірювання) від самої
функції
.
. (7.2)
Часто ці відхилення називають похибкою апроксимації, що не відповідає означенню похибки, оскільки вона є відхиленням результату від істинного значення, яке залишається невідомим.
Методи оцінки адекватності базуються на використанні довірчих інтервалів і дозволяють з заданою ймовірністю визначати шукані значення оцінюємого параметра. Сутність такої перевірки полягає в співставленні отриманої функції з результатами вимірювання. В практиці оцінки адекватності використовують різні критерії згідності.
Критерій
Фішера
(F).
Цей
критерій використовують, якщо результати
вимірювань підпорядковано нормальному
розподілу, точне значення дисперсії
результатів вимірювань значень функції
невідоме. В цьому випадку для перевірки
адекватності апроксимаційної функції
опрацьовують результати з багаторазових
вимірювань.
Розглянемо обробку результатів сумісних вимірювань для випадку з рівною кількістю дослідів в кожній серії. Як правило серія вимірювань це декілька значень функції отриманих при одному значенню аргументу.
За
результатами експерименту для кожної
серії дослідів розраховують середнє
значення функції
.
Далі визначають дисперсію за формулою
(7.3)
де
u
– номер
досліду в серії;
– значення функції в u-му
досліді j
серії
експерименту.
Після розрахунку значень дисперсії в кожній серії вимірювань перевіряється їх однорідність. Перевірка двох дисперсій проводиться за критерієм Фішера, який в даному випадку уявляє собою співвідношення більшої дисперсії до меншої за формулою
,
де
(7.4)
Якщо
розраховане значення критерію
менше табличного
(табл. 7.1) для відповідних значень ступенів
свободи і прийнятого рівня значимості,
то дисперсії вважають однорідними.
Однорідність дисперсій, якщо серій більше двох перевіряють за критерієм Кохрена. Він уявляє собою відношення максимальної дисперсії до суми усіх дисперсій і розраховується за формулою
,
(7.5)
Дисперсії
вважають однорідними, якщо розраховане
значення
не перевищує табличного значення
– критерію. В таблиці 7.2 N
показує
число дисперсій, що порівнюють, а n
–
кількість вимірювань в серії.
Якщо
,
то дисперсії неоднорідні, а це вказує
на те, що величина y,
що досліджується, не підкорюється
нормальному закону розподілу. В цьому
випадку потрібно спробувати замінити
її випадковою величиною
,
що достатньо близько описується
нормальним законом. Якщо дисперсії
однорідні, то дисперсію відтворюємості
експерименту розраховують за формулою
(7.6)
де N – кількість серій дослідів в експерименті.
Таблиця 7.1 – Значення F – критерію Фішера при рівні значимості 5 %
Число ступенів свободи для меншої дисперсії |
Значення критерію при числі ступенів свободи для більшої дисперсії |
||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
12 |
24 |
|
|
1 |
164,4 |
199,5 |
215,7 |
224,6 |
239,2 |
234 |
244,9 |
249 |
254,3 |
2 |
18,5 |
19,2 |
19,2 |
19,3 |
19,3 |
19,3 |
19,4 |
19,4 |
19,5 |
3 |
10,1 |
9,6 |
9„'3 |
9,1 |
9,0 |
8,9 |
8,7 |
8,6 |
8,5 |
4 |
7,7 |
6,9 |
6,6 |
6,4 |
6,3 |
6,2 |
5,9 |
5.8 |
5,6 |
5 |
6,6 |
5,8 |
5,4 |
5,2 |
5,1 |
5,0 |
4,7 |
4,5 |
4,4 |
6 |
6,0 |
5,1 |
4,8 |
4,5 |
4,4 |
4,3 |
4,0 |
3,8 |
3,7 |
7 |
5,5 |
4,7 |
4,4 |
4,1 |
4,0 |
3,9 |
3,6 |
3,4 |
3,2 |
8 |
5,3 |
4,5 |
4,1 |
3,8 |
3,7 |
3,6 |
3,3 |
3,1 |
2,9 |
9 |
5,1 |
4,3 |
3,9 |
3,6 |
3,5 |
3,4 |
3,1 |
2,9 |
2,7 |
10 |
5,0 |
4,1 |
3,7 |
3,5 |
3,3 |
3,2 |
2,9 |
2,7 |
2,5 |
11 |
4,8 |
4,0 |
3,6 |
3,4 |
3,2 |
3,1 |
2,8 |
2,6 |
2,4 |
12 |
4,8 |
3,9 |
3,5 |
3,3 |
3,1 |
3,0 |
2,7 |
2,5 |
2,3 |
13 |
4,7 |
3,8 |
3,4 |
3,2 |
3,0 |
2,9 |
2,6 |
2,4 |
2,2 |
14 |
4,6 |
3,7 |
3,3 |
3,1 |
3,0 |
2,9 |
2,5 |
2,3 |
2,1 |
15 |
4,5 |
3,7 |
3,3 |
3,1 |
2,9 |
2,8 |
2,5 |
2,3 |
2,1 |
16 |
4,5 |
3,6 |
3,2 |
3,0 |
2,9 |
2,7 |
2,4 |
2,2 |
2,0 |
17 |
4,5 |
3,6 |
3,2 |
3,0 |
2,8 |
2,7 |
2,4 |
2,2 |
2,0 |
18 |
4,4 |
3,6 |
3,2 |
2,9 |
2,8 |
2,7 |
2,3 |
2,1 |
1,9 |
19 |
4,4 |
3,5 |
3,1 |
2,9 |
2,7 |
2,6 |
2,3 |
2,1 |
1,9 |
20 |
4,4 |
3,5 |
3,1 |
2,9 |
2,7 |
2,6 |
2,3 |
2,1 |
1,8 |
22 |
4,3 |
3,4 |
3,1 |
2,8 |
2,7 |
2,6 |
2,2 |
2,0 |
1,8 |
24 |
4,3 |
3,4 |
3,0 |
2,8 |
2,6 |
2,5 |
2,2 |
2,0 |
1,7 |
26 |
4,2 |
3,4 |
3,0 |
2,7 |
2,6 |
2,5 |
2,2 |
2,0 |
1,7 |
28 |
4,2 |
3,3 |
3,0 |
2,7 |
2,6 |
2,4 |
2,1 |
1,9 |
1.7 |
30 |
4,2 |
3,3 |
2,9 |
2,7 |
2,5 |
2,4 |
2,1 |
1,9 |
1,6 |
Таблиця 7.2 – Значення G – критерію при 5 % му рівні значимості
N |
|
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
4 |
0,9065 |
0,7679 |
0,6841' |
0,6287 |
0,5895 |
0,5598 |
0,5365 |
0,5175 |
0,5017 |
6 |
0,7808 |
0,6161 |
0,5321 |
0,4803 |
0,4447 |
0,4184 |
0,3980 |
0,3817 |
0,3682 |
8 |
0,6798 |
0,5157 |
0,4377 |
0,3910 |
0,3595 |
0,3362 |
0,3185 |
0,3043 |
0,2926 |
10 |
0,6020 |
0,4450 |
0,3733 |
0,3311 |
0,3029 |
0,2823 |
0,2666 |
0,2541 |
0,2439 |
12 |
0,5410 |
0,3924 |
0,3624 |
0,2880 |
0,2624 |
0,2439 |
0,2299 |
0,2187 |
0,2098 |
15 |
0,4709 |
0,3346 |
0,2758 |
0,2419 |
0,2195 |
0,2034 |
0,1911 |
0,1815 |
0,1736 |
20 |
0,3894 |
0,2705 |
0,2205 |
0,1921 |
0,1735 |
0,1602 |
0,1501 |
0,1422 |
0,1357 |
Дисперсію адекватності розраховують за формулою
,
(7.7)
де
– середнє арифметичне значення функції
в j –
серії дослідів;
– значення функції розраховане за
апроксимаційною формулою для умов j
– серії; v
– число ступенів
свободи, що дорівнює
,
де m –
число коефіцієнтів у апроксимаційній
формулі.
Після цього перевіряють гіпотезу про адекватність апроксимаційної формули за допомогою критерію Фішера (F) (табл. 7.1).
У разі такого критерію нульова гіпотеза полягає у тому, що знайдені оцінки дисперсії результатів вимірювань практично ідентичні
, (7.8)
де
– оцінка дисперсії результатів
вимірювання;
– оцінка
дисперсії відхилень експериментальних
точок від функції апроксимації.
Альтернативна
гіпотеза
полягає
у тому, що експериментально знайдена
оцінка
на основі відхилень експериментальних
точок від функції апроксимації не
дорівнює оцінці дисперсії самих
результатів вимірювань
:
.
У цьому разі знаходять значення тестової
функції
(7.9)
яке
має F
- розподіл із v1та
v2
кількостями ступенів свободи. Знайдене
значення порівнюють із критичним
значенням
,
що залежить від заданого рівня істотності
α
та кількості ступенів свободи v1
та
v2
для оцінок дисперсій відповідно
і
.
Критичне значення
знаходять
із статистичних таблиць (табл. 7.1). На
рис. 7.1 графічно показано F
–
розподіл та критичне значення, яке
розділяє всі можливі значення на дві
області:
Рисунок 7.1 ‑ Тест згідно з F – розподілом (Фішера–Снедекора)
У
разі відхилення нульової гіпотези і
якщо,
тобто
знайдена на основі відхилень
експериментальних точок від апроксимуючої
функції оцінка квадрата експериментальної
стандартної непевності
є
більшою за оцінку
дисперсії
результатів вимірювань, то можна
стверджувати, що порядок апроксимуючої
функції (чи її кількість членів) є замалим
і треба здійснити апроксимацію, збільшивши
порядок цієї функції (збільшити кількість
членів). Якщо цю гіпотезу було відхилено
за протилежної умови
,
то порядок апроксимуючої функції (чи
її кількість членів) є завеликим.
Графічний
метод. Про
неадекватність моделі апроксимуючої
функції, якщо її порядок (чи її кількість
членів) є замалим, можна пересвідчитись,
побудувавши залежність відхилень
експериментальних точок від отриманої
апроксимаційної функції (
).
У разі адекватної моделі ці відхилення
мали би випадковий характер. У протилежному
випадку (за неадекватної моделі) матимуть
місце значні систематичні відхилення
цих точок, що проявляється у певній їх
регулярній залежності. На рис. 7.2 наведено
відхилення експериментальних точок
від апроксимаційної функції. Як бачимо,
існують значні регулярні відхилення,
завдяки чому можемо також стверджувати
про неадекватність функції застосованої
для апроксимації.
Рисунок 7.2 ‑ Регулярний (систематичний) характер відхилень апроксимуючої прямої лінії від експериментальних точок.
Використання коефіцієнта кореляції між сусідніми відхиленнями. Цей метод перевірки на адекватність апроксимаційної функції (наприклад, перевірки, чи поліном має достатній ступінь), полягає у визначенні коефіцієнта кореляції між сусідніми значеннями відхилень. Якщо значення коефіцієнта виявиться достатньо великим, то це свідчитиме про регулярну складову у відхиленнях, тобто про неадекватність вибраної моделі апроксимаційної функції. Навпаки, якщо коефіцієнт кореляції є близьким до нуля, то можна стверджувати, що порядок полінома є принаймні не замалим. Оцінку коефіцієнта кореляції між сусідніми відхиленнями знаходять за формулою
(7.10)
Далі розраховують коефіцієнт
(7.11)
Цей
коефіцієнт підпорядкований розподілу
Ст’юдента із
ступенями свободи. Тому, якщо для заданого
рівня довіри Р
виконується
умова
(7.12)
де
квантиль із табл. додаток Б, то з
ймовірністю Р
встановлено,
що ступінь полінома є достатнім. У
протилежному випадку ступінь полінома
є замалим. Однак виконання умови (7.12) не
вказує, що порядок полінома є завеликим.
Перевірка істотності значень розрахованих коефіцієнтів при апроксимуючих функціях. Провівши декілька експериментів, навіть у тих самих умовах, з використанням тих самих засобів вимірювань тощо, кожного разу отримуватимемо дещо інші результати вимірювань, тобто внаслідок розрахунків. наприклад, за МНК матимемо інші значення оцінок коефіцієнтів апроксимуючої функції. Ці оцінки характеризуються певним розсіянням, мірою якого є їхні стандартні відхилення. Тому може статися так, що стандартне відхилення (розсіяння) деяких коефіцієнтів може бути занадто великим порівняно із значеннями самих коефіцієнтів, тобто такі коефіцієнти можна признати малими чи неістотними. Це може статися, наприклад, тоді, коли насправді модель описується апроксимаційною функцією певного порядку (можливо, невідомого експериментатору), а експериментатор вибрав модель вищого порядку, з більшою кількістю апроксимаційних членів, ніж це потрібно. Очевидно, що у цьому разі теоретично коефіцієнти при надлишкових членах повинні бути нульовими, однак внаслідок обмеженої кількості результатів вимірювань знайдені значення цих коефіцієнтів набувають невеликих ненульових значень.
Перевірку істотності коефіцієнтів можна здійснювати двома способами: 1) порівнянням абсолютної величини коефіцієнта з довірчим інтервалом; 2) за допомогою t - критерію Ст’юдента.
При перевірці істотності коефіцієнтів першим способом для визначення довірчого інтервалу розраховують дисперсії коефіцієнтів регресії. Дисперсію S2{bi} i-го коефіцієнта визначають по формулі
.
(7.13)
Довірчий інтервал визначають за формулою
,
(7.14)
де t
– табличне значення
критерію при прийнятому рівню значимості
і числі ступенів свободи v
з яким визначалась дисперсія
.
При однаковій кількості дослідів у
серії число ступенів свободи розраховується
за формулою
,
де N – число
серій, а n –
число дослідів у серії;
– похибка в визначенні і
-го коефіцієнта апроксимуючої функції,
що розраховується за формулою
.
(7.15)
Значення t наведено у додатку Б.
Коефіцієнт вважають істотним, якщо його абсолютна величина більше довірчого інтервалу.
При
перевірці істотності коефіцієнтів за
другим способом розраховують
за формулою
(7.16)
і
порівнюють його значення з табличним
.
Коефіцієнт вважають істотним, якщо
для прийнятого рівня значимості і числа
ступенів свободи з яким визначалась
дисперсія
.
Критерій Ст’юдента t
розраховують для кожного
коефіцієнта апроксимуючої функції.
Якщо коефіцієнт визнано не істотним то
необхідно повторити розрахунок спочатку,
викинувши з апроксимаційної моделі
член з цим коефіцієнтом, а також знову
виконати перевірку на адекватність
моделі та істотність отриманих
коефіцієнтів.