§2 Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений:

. Напомним, что матрица называется матрицей системы, - столбцом свободных членов, - столбец неизвестных. Если система неоднородная, то столбец свободных членов ненулевой.

Матрица называется расширенной матрицей системы.

Нас будет интересовать: в каком случае система (1) совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение, а в каком – несовместна. И как устроены решения этой системы, если она совместна.

Теорема 1. Кронекера – Капелли. Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, т.е.

1. совместна .

Необходимость. Пусть система (1) совместна, т.е. существует решение - системы (1). Это означает, что выполняется равенство (2)

Пусть , и пусть базисный минор матрицы стоит в первых столбцах. Из теоремы 7 § 12 следует, что совокупность столбцов линейно независимая, а остальные столбцы матрицы являются их линейными комбинациями. Покажем, что максимальное число линейно независимых столбцов матрицы , т.е. ранг матрицы равно .

Первые столбцов расширенной матрицы системы линейно независимы, т.к. они являются базисными столбцами матрицы . Покажем, что любая совокупность столбцов расширенной матрицы, содержащая более столбцов линейно зависимая.

Сначала покажем, что столбец есть линейная комбинация базисных столбцов матрицы . Действительно,

Таким образом, любой столбец расширенной матрицы системы является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы . Если число этих столбцов больше , т.е. числа комбинируемых, то эти столбцы линейно зависимы по теореме 6§ 12. Следовательно, максимальное число линейно независимых столбцов матрицы ,

т.е. , и необходимость доказана.

Достаточность. Пусть и пусть - базисные столбцы матрицы . Следовательно, базисный минор матрицы , а тогда и расширенной матрицы стоит в первых столбцах.

Тогда остальные столбцы расширенной матрицы , в частности, и столбец есть линейная комбинация базисных столбцов, т.е. .

Это и означает, что столбец есть решение системы (1), и достаточность доказана.

Определение 1. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений: (1).

Систему (3) будем называть соответствующей системой линейных однородных алгебраических уравнений для системы (1).

Теорема 2. Пусть - фиксированное решение системы (1). Справедливы следующие утверждения:

1. Для любого решения системы (1) разность является решением соответствующей системы линейных однородных алгебраических уравнений (3).

2. Для любого решения соответствующей системы линейных однородных алгебраических уравнений (3)

сумма является решением системы (1).

Доказательство. По условию справедливы равенства: и . Отсюда следует, что , т.е. является решением соответствующей системы линейных однородных алгебраических уравнений (3).

Из условия также следует: , откуда получаем: . Таким образом,

является решением системы (1), и теорема доказана.

Следствие 1. Если - числу неизвестных, то система (1) имеет единственное решение.

Доказательство. При выполнении указанного условия система (1) совместна по теореме Кронекера-Капелли, а соответствующая система линейных однородных алгебраических уравнений имеет только нулевое решение. Если бы система (1) имела ещё какое-нибудь решение , то было бы решением соответствующей системы линейных однородных алгебраических уравнений, которая имеет только нулевое решение. Таким образом, следствие доказано.

Следствие 2. Если , то система (1) имеет бесчисленное множество решений. Доказательство. Действительно, в этом случае система (1) совместна по теореме Кронекера-Капелли, а т.к. соответствующая система линейных однородных алгебраических уравнений имеет бесчисленное множество решений , то и столбцов вида бесчисленное множество. Из доказанной теоремы следует, что каждый из этих столбцов является решением системы (1), и следствие доказано.

Следствие 3. Если , то общее решение системы (1) имеет вид , где - фиксированное решение системы (1), а - фундаментальная система решений соответствующей системы линейных однородных алгебраических уравнений.

Доказательство. Пусть - произвольное решение системы (1). Тогда - решение соответствующей системы линейных однородных алгебраических уравнений, и по следствию 2 к теореме 3 § 1 получаем:

, откуда следует равенство , и следствие доказано.