§3 Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных.

Определение 1. Две системы линейных алгебраических уравнений от одного и того же числа неизвестных будем называть равносильными или эквивалентными, если все решения одной являются решениями другой, или если обе системы несовместны.

Лемма 1. Если система линейных алгебраических уравнений получилась из системы в результате умножения -го уравнения на отличное от нуля число , то эти системы эквивалентны и расширенная матрица системы получается из расширенной матрицы системы в результате умножения -ой строки на число , т.е. .

Доказательство.

Пусть . Тогда

Эти системы отличаются лишь -м уравнением. Поэтому если столбец является

решением исходной системы, то он удовлетворяет и всем уравнениям новой системы, за исключением, может быть -го. Покажем, что этот столбец удовлетворяет также и этому уравнению. Действительно, справедливо равенство

(1) , т.к. - решение исходной системы. Следовательно, выполняется и равенство, полученное из (1) в результате умножения его на число : (2).

Таким образом, столбец является решением системы . Аналогично доказывается, что если столбец

есть решение системы , то он является также решением исходной системы. Для этого достаточно равенство (2) умножить на число .

Если одна из этих систем несовместна, то, очевидно, несовместна и другая, т.к. решение одной, как было показано выше, является также решением другой.

Утверждение относительно расширенных матриц этих систем очевидно.

Лемма 2. Если система линейных алгебраических уравнений получилась из системы в результате прибавления к -му уравнению -го, умноженного на число , то эти системы эквивалентны и расширенная матрица системы получается из расширенной матрицы системы в результате прибавления к -ой строке -ой, умноженной на число , т.е. .

Доказательство. Пусть

. Тогда

Эти системы отличаются лишь -м уравнением. Поэтому если столбец является

решением исходной системы, то он удовлетворяет и всем уравнениям новой системы, за исключением, может быть -го. Покажем, что этот столбец удовлетворяет также и этому уравнению. Действительно, справедливы равенства

(3) и (4) , т.к. - решение исходной системы. Следовательно, выполняется и равенство, полученное в результате сложения равенства (3) с равенством (4) , умноженным на число : (5).

Таким образом, столбец является решением системы . Аналогично доказывается, что если столбец

есть решение системы , то он является также решением исходной системы. Для этого достаточно из равенства (5) вычесть равенство (4), умноженное на число .

Если одна из этих систем несовместна, то, очевидно, несовместна и другая, т.к. решение одной, как было показано выше, является также решением другой.

Утверждение относительно расширенных матриц этих систем очевидно.

Лемма 3. Если система линейных алгебраических уравнений получилась из системы в результате перемены местами -го и -го уравнений, то эти системы эквивалентны и расширенная матрица системы получается из расширенной матрицы системы в результате перемены местами -ой и -ой строк, т.е. .

Утверждение леммы 3 очевидно.

Следствие. Если система линейных алгебраических уравнений получилась из системы в результате нескольких преобразований, описанных в леммах 1, 2, и 3, то эти системы эквивалентны и расширенная матрица системы получается из расширенной матрицы системы в результате соответствующих элементарных преобразований над строками, т.е. .

Поэтому вместо того, чтобы работать с системой, будем работать с расширенной матрицы системы.

Пусть ранг матрицы системы равен и пусть базисный минор этой матрицы стоит в первых столбцах. (В противном случае этого можно добиться перенумеровав неизвестные.)

По замечанию к теореме 2 §11 эту матрицу можно преобразовать в трапециевидную с помощью элементарных преобразований только над строками.