2. Показатели размера и интенсивности вариации

В практических статистических исследованиях чаще всего используют следующие показатели:

1. Абсолютные показатели вариации

А) Абсолютный размах (амплитуда) вариации (R) – это абсолютная разница между максимальным (Х_max) и минимальным (X _min) значениями признаков из имеющихся в вариационном ряду. Амплитуда вариации вычисляется по формуле 15.

R = X _max - X _min (15)

Б) Среднее квадратическое отклонение () – рассчитывается для всех типов рядов распределения и учитывает равномерность или неравномерность распределения признака в совокупности. Вычисляется по формулам 16,17,18.

n

 ( Х_i - Х)²

1

 _{1 тип,} =  (16)

_равн. n

n

 ( Х_i - Х)²*f_i

1

 _{1 тип,} =  (17)

_{неравн.} f_i = n

k

 ( Х ^/_j - Х)² * f_j

1

 _{2 тип,} =  (18)

k

_{неравн.}  f_j = n

1

В) Дисперсия ( ²)

2. Относительные показатели

А) Коэффициент вариации



 =  (19)



Х

Коэффициент вариации удобно выражать в процентах. Если при оценке однородности совокупности  < 10 %, то совокупность с точки зрения распределения признака можно считать однородной. Если  > 25 % - неоднородной.

2. Показатели формы распределения

Для дальнейшего изучения характера вариации используются средние значения разных степеней отклонений отдельных величин признака от его средней арифметической величины. Эти показатели получили название центральных моментов распределения (М).

1. Показатели асимметрии

На основе момента третьего порядка можно построить показатель, характеризующий степень асимметричности распределения с помощью коэффициента асимметрии А_s. Он рассчитывается по формуле 20:

М ₃

А_s = , (20)

 ³

где М ₃ – центральный момент распределения третьего порядка, рассчитывается как для ряда распределения первого типа (не сгруппированные данные), так и для совокупности, разделенной на группы – т.е для ряда распределения второго типа. М ₃ рассчитывается по формуле 21:

k

 ( Х^/_j – Х) ³ * f _j

1

М_{3, 2-го типа} =  (21)

_{неравном.} k

 f _j

1

Английский статистик К.Пирсон предложил другой показатель асимметрии на основе разности между средней величиной и модой, по формуле 22:

Х - М _о

А _{s, } =  (22)



Показатель Пирсона зависит от степени асимметричности в средней части ряда распределения, а показатель асимметрии, основанный на моменте третьего порядка – от крайних значений признака в ряду распределения. Расчетные значения показателя асимметрии сравнивают с нулем. Распределения с сильной правосторонней и левосторонней асимметрией, а также симметричное распределение показаны на рисунке 1:

А _s,п = 0 А _s,п < 0 А _s,_п > 0

f f

X X X

X = М ₀ Х < М ₀ М ₀ < Х

Симметричное Левосторонняя Правосторонняя

(нормальное) асимметрия асимметрия

распределение

Рисунок 1 – Виды смещения формы распределения

2. Эксцесс распределения (от лат. Excessus – отступление, излишество) (Ех) – рассчитывается на основе центрального момента распределения четвертого порядка М₄ по формуле 23:

М ₄

Е_х =  - 3, (23)

 ⁴

где М ₄ – центральный момент распределения четвертого порядка, рассчитывается как для ряда распределения первого типа (не сгруппированные данные), так и для совокупности, разделенной на группы – т.е для ряда распределения второго типа. М ₄ рассчитывается по формуле 24:

k

 ( Х^/_j – Х) ⁴ * f _j

1

М_{4, 2-го типа} =  (24)

_{неравном.} k

• f _j

1

Также под эксцессом понимают островершинность или плосковершинность распределения по сравнению с нормальным распределением при той же силе вариации. Другими словами, эксцесс – это отклонение вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. При этом эксцесс определяется для симметричных и умеренно асимметричных распределений. Формула эксцесса основана на отклонении от нормального распределения (в нормальном распределении отношение М ₄ :  ⁴ = 3). Распределения более островершинные, чем нормальные, обладают положительным эксцессом (Е_х >0), более плосковершинные – отрицательным (Е_х < 0). Это иллюстрирует рисунок 2.

f

Е _х > 0

Е _х < 0

Х

Рисунок 2 – Зависимость формы распределения от знака эксцесса

Положительный эксцесс свидетельствует о том, что в совокупности есть слабо варьирующее по данному признаку «ядро». Для положительного эксцесса характерен островершинный график распределения признака, а в плосковершинных распределениях такого «ядра» нет и единицы рассеяны по всем значениям признака более равномерно. Для таких графиков характерен отрицательный знак эксцесса.

Чтобы оценить существенность эксцесса распределения, рассчитывают среднюю квадратическую ошибку эксцесса по формуле 25:

24 * n * ( n – 2) * ( n – 3 )

_Ex =  (25)

( n – 1 )² * ( n + 3 ) * ( n + 5 )

Если отношение Е _х  : _Ex > 3, то отклонение от нормального можно считать существенным.

4 Задание к индивидуальной работе

Исходя из индивидуальных данных, расположенных в приложении Б, используя теоретическую информацию, предложенные методы, необходимо:

1.Осуществить простую группировку данных, приведенных в приложении Б.

***Данные необходимо скорректировать на индивидуальные коэффициенты. Величина коэффициентов, группировочный признак, а также количество групп, образованных из состава предлагаемой совокупности соответствует номеру варианта.

2.Составить интервальный ряд распределения группировочного признака.

3.Рассчитать среднее значение группировочного признака.

4.Количественно оценить структуру анализируемой совокупности с точки зрения распределения признака.

5.Определить характер распределения признака.

6.Оценить форму распределения признака.

7.Сделать вывод об особенностях распределения признака в исследуемой совокупности.