Контрольные вопросы.

1. Что называется трансляционной периодичностью кристалла?

2. Что называется примитивной элементарной ячейкой? Объяснить различие между элементарной ячейкой и примитивной элементарной ячейкой.

3. Дать определение решетки Бравэ. Чем отличается решетка Бравэ от реальной кристаллической решетки?

4. Назвать типы кубических решеток.

5. Что называется структурой с плотной упаковкой? Дать определение гексагональной плотноупакованной структуры.

6. Объяснить, как находятся индексы Миллера для кристаллической плоскости.

7. Дать определение обратной решетки.

Задание № 2 Модель Кронига-Пенни

Уравнение Шредингера для электрона в кристалле можно решить, задав периодический потенциал решетки. Рассмотрим одномерную решетку с потенциалом, график которого изображен на рис. 3.

V₀

Рис. 3

(1)

Уравнение Шредингера для электрона в области I имеет вид

(2)

а для области II

(3)

Ищем решение в виде функции Блоха

(4)

Где – периодическая функция с периодом

.

(5)

Общее решение для области I можно записать в виде

,

Где

(6)

Для области II

,

где

Постоянные интегрирования A, B, C и D выбираются так, чтобы функция и ее производная были непрерывны при и чтобы в силу требования периодичности значение функции и ее производной при были равны этим значениям при

(7)

Эти условия приводят к системе линейных и однородных уравнения для определения A, B, C и D. Нетривиальное решение этой системы существует лишь в том случае, если детерминант, составленный из коэффициентов при неизвестных A, B, C и D, равен нулю. Равенство нулю детерминанта приводит к уравнению для определения разрешенных значений энергии электрона

.

Для упрощения задачи будем считать, что , но т.е. рассматривать достаточно узкие и высокие барьеры, что до известной степени соответствует действительности в случае сильной связи электронов в кристаллической решетке.

(8)

Тогда, обозначив и переходя в уравнении (7) к пределу получим уравнение

Левая часть этого уравнения представляет собой функцию от E, а правая является функцией . Таким образом, трансцендентное уравнение (8) дает в неявном виде E как функцию от

1.Абсолютно свободные электроны. В уравнении (8) положить и вычислить энергию в этом случае. Дать объяснение полученному результату.

2.Абсолютно связанные электроны. Из уравнения (8) определить энергию в пределе . Дать объяснение полученному результату.

3. Сильно связанные электроны.

3.1. Построить график функции

в интервале

3.2. Поскольку стоящий в правой части уравнения (8), может принимать только значения в интервале от , то переменная может принимать только значения для которых Интервал значений в котором , определяет интервал разрешенных значений энергии, т.е. разрешенные зоны, а интервал значений переменной , в котором , определяет интервал запрещенных значений энергии, т.е. запрещенные зоны. Используя график функции и считая , определить энергии границ разрешенных и запрещенных зон.

3.3. Показать, что переход от разрешённых к запрещенным зонам происходит всякий раз, когда

3.4. При разрешенные зоны очень узкие, поэтому можно положить

Используя разложение

показать, что

(9)

С учетом того, что что

При выводе этой формулы использовать приближенную формулу

3.5. Используя формулу (9), построить график функции для и

3.6. Определить ширину -ной разрешенной зоны, которая определяется разностью между наибольшим и наименьшим значениями энергии в зоне.

4. Энергия в -ной может быть записана в виде

4.2. Доказать, что является периодической функцией, и найти период.

4.3. Найти значения , при которых принимает минимальное и максимальное значения.

4.4. Вблизи максимума и минимума ее можно разложить в ряд Тейлора

где – значение в экстремальной точке. Вычилить эффективную массу электрона в экстремальной точке, по формуле

Записать энергию вблизи экстремальных точек в виде

5. Во внешнем электрическом поле изменение волнового вектора определяется законом Ньютона

где напряженность внешнего электрического поля. Групповая скорость волнового пакета, описывающего электрон, определяется формулой

Изменение групповой скорости со временем определяется уравнением

Нарисовать качественные графики для – координата электрона, для электрона в постоянном электрическом поле и в периодическом потенциале решетки. Для эффективной массы использовать значение, которое получается в модели Кронига- Пенни.

Контрольные вопросы.

1. Написать уравнение Шредингера для электрона в периодическом потенциале решетки и объяснить смысл входящих в него величин.

2. Сформулировать теорему Блоха.

3. Что называется разрешенными и запрещенными зонами?

4. Дать определение эффективной массы электрона.

5. Что называется законами Бриллюэна? Почему энергия электрона достаточно определить только в пределах первой зоны Бриллюэна?

6. Объяснить смысл приближений почти свободных электронов и сильно связанных электронов в зонной теории.

7. Дать классификацию тверды тел на основе зонной теории.